Odległość dwóch prostych.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Znaleźć odległość między prostymi:
\(\displaystyle{ l_1 : \begin{cases} 2x+y+1=0 \\ -y+z-2 = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l_2: \begin{cases} 2x+z-3 = 0 \\ 4x + y + z + 1 = 0 \end{cases}}\)
Po przejściu na postać parametryczną mam:
\(\displaystyle{ l_1 : x = t; y = -2t-1; z = -2t + 1}\)
\(\displaystyle{ l_2: x = t; y = -2t -4; z = -2t + 3}\)
Widać więc, że wektory kierunkowe są takie same. To znaczy, że proste są równoległe? Jak wtedy policzyć odległość? Logicznie myśląc wiem, że to będzie odległość między dwoma punktami leżącymi na prostej prostopadłej do tych prostych? Jak się za to zabrać? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[szw1710]

Tak jak piszesz. Ale lepiej inaczej. Weź sobie punkt na pierwszej prostej. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez niego i prostopadłej do tej prostej. I już jesteś w domu. Może nie napiszę dlaczego. Wyobraź to sobie.

[dawid.barracuda]

Jak najprościej to zrobić?

[szw1710]

Do napisania równania płaszczyzny potrzebujesz jakiegoś wektora.

[dawid.barracuda]

Mam tylko wektory kierunkowe (czyli te same) i wektor \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2} = [0;-3;2]}\). Jak próbowałem policzyć wektor prostopadły do kierunkowego używając iloczynu skalarnego to wychodzi mi wektor zerowy.

[szw1710]

Jaki jest wektor równoległy do prostej w stosunku do tej płaszczyzny?

[dawid.barracuda]

Nie rozumiem pytania.

[szw1710]

Zastanów się co jest potrzebne do napisania równania płaszczyzny.

[dawid.barracuda]

Wektor leżący na płaszczyźnie i prostopadły do płaszczyzny.

[szw1710]

Jak może na niej leżeć i być prostopadły?

[dawid.barracuda]

Miałem na myśli dwa wektory - jeden leżący na, drugi prostopadły.

[szw1710]

No to nie. Poczytaj jeszcze raz wskazówkę. Potrzebujesz wektora prostopadłego i punktu. Wszystko masz. Dalszą część (mając równanie tej płaszczyzny obliczyć odległość prostych) sobie wymyśl wyobrażając to sobie geometrycznie.