Odległość punktu od prostej.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ P(3;0;1)}\) od prostej \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = -y+3 \\ y=-3z+1 \end{cases}}\).
Więc przekształciłem prostą do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ x = 3t +2; y = -3t+1; z = t}\).
Potem znalazłem wektor łączący punkt \(\displaystyle{ A}\) leżący na prostej \(\displaystyle{ l}\) z punktem \(\displaystyle{ P}\) (\(\displaystyle{ A = (2;1;0)}\)): \(\displaystyle{ \vec{AP} = [1;-1;1]}\).
Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) to wektor: \(\displaystyle{ \vec{v} = [3;-3;1]}\).
Korzystam teraz z równania: \(\displaystyle{ \left| \vec{AP} \times \vec{v} \right| = \left| \vec{v} \right| \cdot h}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) to szukana odległość (interpretowane jako wysokość równoległoboku rozpiętego na wektorach.
\(\displaystyle{ h = \frac{\left| \vec{AP} \times \vec{v} \right| }{\left| \vec{v} \right| } = \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\).
Czy wszystko jest poprawnie? Proszę o odpowiedź i pozdrawiam.

[chris_f]

Chyba bardziej naturalne jest napisanie równania płaszczyzny prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\).
\(\displaystyle{ 3x-3y+z+D=0}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot3+1+D=0\Rightarrow D=-10}\)
skąd płaszczyzna ma równanie
\(\displaystyle{ 3x-3y+z-10=0}\)
i znalezienie punktu wspólnego danej prostej i wyznaczonej płaszczyzny
\(\displaystyle{ 3(3t+2)-3(-3t+1)+t-10=0}\)
\(\displaystyle{ 19t=7}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{7}{19}}\)
A zatem szukanym punktem jest \(\displaystyle{ Q=\left(\frac{59}{19},-\frac{2}{19},\frac{7}{19})}\).

Odległość \(\displaystyle{ |PQ|=\sqrt{\left(-\frac{2}{19}\right)^2+\left(\frac{2}{19}\right)^2+\left(\frac{12}{19}\right)^2}=\sqrt{\frac{152}{19}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}\).