Prosta i punkt.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Przez punkt \(\displaystyle{ A(3;-1;2)}\) poprowadzić prostą przecinającą prostą \(\displaystyle{ l: x=2-t; y = 3+2t; z = 1+t}\) pod kątem prostym.

Więc mam wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \vec{u}=[2;3;1]}\).
Wektor o końcu w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i początku na prostej \(\displaystyle{ l}\) to wektor \(\displaystyle{ \vec{BA} = \vec{a} = [1+t;-4-2t;1-t]}\).
Jest on prostopadły do prostej \(\displaystyle{ l}\) wobec czego: \(\displaystyle{ \vec{u} \cdot \vec{a} = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{9}{5}}\)
Wektor równoległy do szukanej prostej to wektor: \(\displaystyle{ \vec{a_0} = \left[ - \frac{4}{5} ; - \frac{2}{5} ; \frac{14}{5} \right]}\). (Po podstawieniu wyznaczonego \(\displaystyle{ t}\) do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) z parametrem \(\displaystyle{ t}\).)
Wobec powyższego szukana prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ k: \frac{x-3}{- \frac{4}{5} } ; \frac{y+1}{- \frac{2}{5} } ; \frac{z-2}{ \frac{14}{5} }}\).
Czy wszystko jest poprawnie? Proszę uprzejmie o odpowiedź i pozdrawiam.

[norwimaj]

Więc mam wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \vec{u}=[2;3;1]}\).

\(\displaystyle{ (2,3,1)}\) to tylko jakiś punkt należący do \(\displaystyle{ l}\). Wektorem kierunkowym jest \(\displaystyle{ [-1,2,1]}\).

[dawid.barracuda]

A faktycznie, myślałem, że \(\displaystyle{ t}\) stoi przy tych liczbach które podałem jako wektor kierunkowy - źle spojrzałem po prostu. Dalej rozwiązuję poprawnie?

[norwimaj]

Wobec powyższego szukana prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ k: \frac{x-3}{- \frac{4}{5} } ; \frac{y+1}{- \frac{2}{5} } ; \frac{z-2}{ \frac{14}{5} }}\).

Chyba miały być znaki równości zamiast średników. Więcej zastrzeżeń nie mam.

[dawid.barracuda]

Po poprawkach:
\(\displaystyle{ \vec{a_0} = \left[ - \frac{1}{3} ; - \frac{4}{3}; \frac{7}{3} \right]}\).
Szukana prosta ma postać:
\(\displaystyle{ k: \frac{x-3}{- \frac{1}{3} } = \frac{y+1}{- \frac{4}{3} } = \frac{z - 2}{ \frac{7}{3} }}\)
Uprzejmie proszę o sprawdzenie poprawności rachunków gdyż nie mam odpowiedzi.

[norwimaj]

Zgadza się.

[dawid.barracuda]

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.