Długość wektora złożonego z dwóch innych

[Jonarz]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) mają długość odpowiednio 13 i 19. Oblicz \(\displaystyle{ \left| \vec{a}-2\vec{b}\right|}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ \left| \vec{a}+\vec{b}\right|=24}\).

Próbowałem to zrobić, ale mój sposób wydaje mi się za długi i niezbyt poprawny (chociaż wynik wychodzi w miarę sensowny). Rozpisałem długość wektorów\(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}}\) (jako pierwiastek z sumy kwadratów współrzędnych lub pierwiastek z sumy kwadratów sumy współrzędnych w trzecim przypadku). Następnie doprowadziłem to do takiej postaci (piszę tylko współrzędne \(\displaystyle{ x}\) w każdym wypadku, reszta jest tak samo):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_a^2=507\\6x_b^2=2166\\2x_a^2+4x_ax_b+2x_b^2=1152\end{cases}}\)
Po dodaniu pierwszych dwóch równań stronami i odjęciu trzeciego:
\(\displaystyle{ x_a^2-4x_ax_b+4x_b^2=1521}\)
\(\displaystyle{ (x_a-2x_b)^2=1521}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x_a-2x_b)^2}=39}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{a}-2\vec{b}\right|=39}\)

Czy takie rozwiązanie jest w ogóle matematycznie poprawne? Czy jest jakieś szybsze i prostsze rozwiązanie?

[nowheredense_man]

skorzystaj z własności iloczynu skalarnego: \(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{u}=\left |\vec{u}\right |^2}\)

[Jonarz]

Bardzo dziękuję za pomoc Wyszedł ten sam wynik, ale sposób jest znacznie szybszy i prostszy.

[jenek]

Czołem! Jeżeli mogę, jak się do tej postaci dochodzi?
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_a^2=507\\6x_b^2=2166\\2x_a^2+4x_ax_b+2x_b^2=1152\end{cases}}\)

[Kartezjusz]

W czym problem. Podzielić i spierwiastkować.

[jenek]

No właśnie nie bardzo wiem co dzielić i pierwiastkować.

[Kartezjusz]

Pierwsze równanie obustronnie przez trzy i obustronnie spierwiastkować. ( dlaczego)

[jenek]

Dzięki za odpowiedź. A, wyznaczyć \(\displaystyle{ x_a}\) z \(\displaystyle{ 3x_a^2=507}\) to wiem jak. Nie wiem jak dojść do tego układu równań, bo na początku mamy taki układ:

\(\displaystyle{ \sqrt{x_a^{2}+y_a^{2}}=13\newline\newline
\sqrt{x_b^{2}+y_b^{2}}=19\newline\newline
\sqrt{(x_a+x_b)^{2}+(y_a+y_b)^{2}}=24}\)

To się zgadza?

[Kartezjusz]

Dokładnie. Teraz zapisz długość ,ktorą musisz policzyć:)

[jenek]

\(\displaystyle{ \left|\vec{a}-\vec{2b}\right|=\sqrt{(x_a-2x_b)^{2}+(y_a-2y_b)^{2}}}\)

Jak podstawię \(\displaystyle{ x_a^{2}+y_b^{2}}\), \(\displaystyle{ x_b^{2}+y_b^{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}\), to dostanę szukaną wartość, ale dalej nie rozumiem skąd:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_a^2=507\\6x_b^2=2166\\2x_a^2+4x_ax_b+2x_b^2=1152\end{cases}}\)

[Kartezjusz]

A po co ci to? Masz długość szukanego wektora, jesteś szczęśliwy:)

[kruszewski]

Czasami do pełnego szczęścia potrzeba wiedzieć dlaczego, skąd?
Nie dziwi mnie zatem : "Jak podstawię....to dostanę szukaną wartość, ale dalej nie rozumiem skąd "
chęć zrozumienia a w podtekście pytanie-prośba o objaśnienie.
W.Kr.
PS. Nie lubię formuły " ..... ( dlaczego?)" .

[Kartezjusz]

Z tego co wiem, wyliczyłeś już ją bez tego układu. Dobrze cię zrozumiałem?

[jenek]

Tak, okazuje się (po podstawieniu wartości wspomnianych wyrażeń), że \(\displaystyle{ \left| \vec{a}-2\vec{b}\right|}\) jest równe \(\displaystyle{ 39}\). W tym zadaniu układ, o który pytam, nie jest koniecznością, ale następnym razem polecenie może być inne. Otrzymuje się go w wyniku rozwiązywania układu trzech równań z czterema niewiadomymi wynikającego z treści zadania?

[Kartezjusz]

Tak, ale jest ryzyko, że będzie nieoznaczony.