wyznaczyć środek ciężkości trójkąta

[sportowiec1993]

Zadanie jest następujące. Mamy trójkąt (ABC) w układzie współrzędnym.
Wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{OS}}\) łączący punkt przecięcia środkowych tego trójkąta (S) z początkiem układu (O).
Wynik powinien wyjść: \(\displaystyle{ \vec{OS}= \frac{1}{3} ( \vec{OA}+ \vec{OB} + \vec{OC})}\).
Tylko jak do tego dojść?? Ja to zacząłem robić tak:
(*) niech np. \(\displaystyle{ \vec{a'}}\) oznacza pkt. łączący punkt A ze środkiem przeciwległego boku
\(\displaystyle{ \vec{OS}= \vec{OA}+ \frac{2}{3} \vec{a'}}\) analogicznie:
\(\displaystyle{ \vec{OS}= \vec{OB}+ \frac{2}{3} \vec{b'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{OS}= \vec{OB}+ \frac{2}{3} \vec{b'}}\) czyli łatwo dostaję: \(\displaystyle{ \vec{OS}= \frac{1}{3} ( \vec{OA}+ \vec{OB} + \vec{OC} + \frac{2}{3} ( \vec{a'}+ \vec{b'} + \vec{c'}) )}\)

Tu się zaczynają "schody". Nie bardzo wiem, jak pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} ( \vec{a'}+ \vec{b'} + \vec{c'})=0}\).

Jeden ze sposobów jakim to próbowałem robić było przedstawianie w stylu:
\(\displaystyle{ \vec{a'}= \vec{AB}+ \frac{1}{2} \vec{BC} \wedge \vec{b'}= \vec{BA}+ \frac{1}{2} \vec{AC}}\) potem należałoby dodać równania stronami. (I w wyniku dodania wszystkich wektorów po prawej stronie równania powinno się dostać wektor zerowy).
Tylko - nie bardzo wiem jak można by przedstawić te wektory a', b', c', żeby dało się pokazać, że ich suma istotnie jest wektorem zerowym.

[piasek101]

\(\displaystyle{ S\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)}\) - możesz z tego skorzystać ?

[sportowiec1993]

jakbym mógł skorzystać z gotowego wzoru na pkt. przecięcia środkowych to bym się nie pytał .
Właśnie chodzi o to, że całe zadanie ma być rozwiązane przy pomocy wektorów, tak jakbym nie znał podanego wyżej wzoru.
Jedynie z czego mogę (a nawet chyba muszę) skorzystać to to, że punkt przecięcia się środkowych dzieli je w stosunku 2:3.