Witam!
Zadanie brzmi tak:
Zinterpretuj geometrycznie \(\displaystyle{ a \cdot (b \times c)}\)
Pozdrawiam.
Interpretacja geometryczna wektorów
Interpretacja geometryczna wektorów
... volume.PNG
Dalej nie rozumiem czemu tak się dzieje, co mam przyjąć za a/b/c?
O ile to zrozumiałem to za a przyjmuję [a1, a2, a3] i podobnie z b, i c.
Jednak prosiłbym o wytłumaczenie czemu ma to taki kształt, a nie inny.
Pozdrawiam.
Dalej nie rozumiem czemu tak się dzieje, co mam przyjąć za a/b/c?
O ile to zrozumiałem to za a przyjmuję [a1, a2, a3] i podobnie z b, i c.
Jednak prosiłbym o wytłumaczenie czemu ma to taki kształt, a nie inny.
Pozdrawiam.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Interpretacja geometryczna wektorów
Oczywiście za \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}}\) wstawiasz ich współrzędne, czyli \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_1,a_2,a_3],\vec{b}=[b_1,b_2,b_3],\vec{c}=[c_1,c_2,c_3]}\).
Możesz teraz ten iloczyn mieszany liczyć krok po kroku, tzn. najpierw obliczać iloczyn wektorowy wektorów \(\displaystyle{ \vec{b},\vec{c}}\), a potem iloczyn skalarny tego co wyjdzie z wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\).
Możesz też skorzystać z tego wzoru macierzowego.
\(\displaystyle{ (\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \det(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}}\).
A skąd to się bierze? Żeby policzyć objętość równoległościanu, to trzeba policzyć pole powierzchni jego podstawy i wysokość. Pole powierzchni podstawy to długość wektora razy długość wektora razy sinus kąta między nimi (w utworzonej przez nie płaszczyźnie), a wysokość otrzymamy z trzeciego wektora (tym razem pojawi się cosinus odpowiedniego kąta).
Wszystkie rachunki znajdziesz w każdym podręczniku.
Możesz teraz ten iloczyn mieszany liczyć krok po kroku, tzn. najpierw obliczać iloczyn wektorowy wektorów \(\displaystyle{ \vec{b},\vec{c}}\), a potem iloczyn skalarny tego co wyjdzie z wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\).
Możesz też skorzystać z tego wzoru macierzowego.
\(\displaystyle{ (\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \det(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}}\).
A skąd to się bierze? Żeby policzyć objętość równoległościanu, to trzeba policzyć pole powierzchni jego podstawy i wysokość. Pole powierzchni podstawy to długość wektora razy długość wektora razy sinus kąta między nimi (w utworzonej przez nie płaszczyźnie), a wysokość otrzymamy z trzeciego wektora (tym razem pojawi się cosinus odpowiedniego kąta).
Wszystkie rachunki znajdziesz w każdym podręczniku.