Elipsa przesunięta. Zamiana postaci parametrycznej na...

[jarekzulus]

Witam
Mam problem z zamianą postaci parametrycznej elipsy na postać uwikłaną.
Oto to cudo:
\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1-\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

chyba powinno wyjść tak (graficznie widać ten sam wykres):
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}- \sqrt{3} \cdot x \cdot y- \left( 2- \sqrt{3} \right) \cdot \left( x+y \right) +1- \sqrt{3}=0}\)
Ale nie wiem jak do tego doszło. Proszę o pomoc jak to można ugryźć?

To pewnie nic nie pomoże ale jest to elipsa o środku w punkcie (1,1), półosie to \(\displaystyle{ a=1+ \sqrt{3},
b= \sqrt{3}-1}\) , elipsa pod kątem 45 stopni do osi OX.

[Powermac5500]

To pewnie nic nie pomoże ale jest to elipsa o środku w punkcie (1,1), półosie to \(\displaystyle{ a=1+ \sqrt{3},
b= \sqrt{3}-1}\) , elipsa pod kątem 45 stopni do osi OX.

Coś mi się nie zgadza. Sądzę, że niepoprawnie przepisałeś przykład. Gdzieś jest zły znak.

Ogólna parametryczna postać elipsy to:

\(\displaystyle{ x(t)=x _{0}+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ y(t)=y _{0}+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt głównej osi elipsy z osią \(\displaystyle{ X}\)

Porównując Twoje wzory do postaci ogólnej moglibyśmy wyliczyć \(\displaystyle{ a, b, \alpha}\)
Ale wychodzą sprzeczności. Gdyby to wyglądało na przykład tak:
\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

to
oczywiście \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0})=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ a=-2}\)
\(\displaystyle{ b=2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =60^\circ}\)

Załóżmy, że mamy już poprawne \(\displaystyle{ a, b, \alpha}\)
Potrafimy napisać wzór kanoniczny elipsy nieobróconej ze środkiem w \(\displaystyle{ (0,0)}\)
Potem ją obrócić i przesunąć. Lub na odwrót, w zależności jak chcemy.

[jarekzulus]

Dzięki za wzory. Coś może z tym zrobię (przeliczę jeszcze raz, może źle określiłem kat), jednakże nie pomyliłem się we wzorach, są tam dwa minusy tj.

\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1-\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

Jeśli możesz pomóż z tym przekształceniem na kanoniczny bo coś mi nie idzie.

Z góry dzięki.

[Kartezjusz]

a gdyby \(\displaystyle{ t=t- \pi}\)lub coś w tym stylu i wzorami rekurencyjnymi...

[jarekzulus]

Ogólna parametryczna postać elipsy to:

\(\displaystyle{ x(t)=x _{0}+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ y(t)=y _{0}+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt głównej osi elipsy z osią \(\displaystyle{ X}\)

Porównując Twoje wzory do postaci ogólnej moglibyśmy wyliczyć \(\displaystyle{ a, b, \alpha}\)
Ale wychodzą sprzeczności. Gdyby to wyglądało na przykład tak:
\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

to
oczywiście \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0})=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ a=-2}\)
\(\displaystyle{ b=2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =60^\circ}\)

Może się mylę ale a,b to chyba półosie elipsy to czemu wyszło ze \(\displaystyle{ a=-2}\)??
nie powinny być dodatnie?

[Powermac5500]

Może się mylę ale a,b to chyba półosie elipsy to czemu wyszło ze \(\displaystyle{ a=-2}\)??
nie powinny być dodatnie?

Masz rację, kombinowałem jak dobrać plusy i minusy by dało się rozwiązać, a nie pomyślałem o najprostszym
W każdym razie coś mi z tymi znakami nie pasowało.
\(\displaystyle{ a,b=2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =150^\circ}\)
Teraz będzie pasować do układu z jednym plusem a nie samymi minusami
Tylko teraz jak dopuściłem do głosu myślenie to wynika mi, że to okrąg

[jarekzulus]

Tam jest 2 minusy jak to rysuje w programie graficznym to ładnie widać. Ale problem pozostaje: Jak to przekształcić do postaci kanonicznej.

\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1-\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

A wracając do zadania z wyznaczeniem półosi to muszę rozwiązać taki to układ równań?
\(\displaystyle{ a\cos\left( t\right) \cdot \cos\left( \alpha \right) =-\cos\left( t\right)}\)
\(\displaystyle{ -b\sin\left( t\right) \cdot \sin\left( \alpha \right) =- \sqrt 3 \sin\left( t\right)}\)
\(\displaystyle{ a\cos\left( t\right) \cdot \sin\left( \alpha \right) =- \sqrt 3 \cos\left( t\right)}\)
\(\displaystyle{ b\sin\left( t\right) \cdot \cos\left( \alpha \right) =- \sin\left( t \right)}\)

Czy może coś pokręciłem, pytam bo mi jakieś głupoty wychodzą.

pozdrawiam

p.s.
Dla
\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

(czyli jak jest plus i minus) mamy rzeczywiście koło o środku (1,1) i promieniu 2.-- 16 paź 2013, o 12:51 --Miele to na wszystkie sposoby ale guzik z tego wychodzi. Może coś zaradzicie

Wyszedłem od podstawowego wzoru:
\(\displaystyle{ x \left( t \right) = a \cdot cos \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) = a \cdot \sin \left( t \right)}\)

zakładając że:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{3}+1}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{3} -1}\)
Kąt obrotu 45

podstawiłem do
\(\displaystyle{ x(t)=x _{0}+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ y(t)=y _{0}+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha}\)
i puściuśkim do programu graficznego. Wyszło tak samo (wizualnie wiem ale jednak)

Ale jakoś nie umiem z jednego wzoru przejść do drugiego tj do (***):
\(\displaystyle{ x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)}\)

Za wszelkie wskazówki stokrotne dzięki. A jeszcze bardziej za obliczenie a,b i kąta obrotu ze wzoru (***)