postać kanoniczna elipsy

[chikwadrat]

Witam,

jak uzyskać postać kanoniczną elipsy z równania: \(\displaystyle{ ax^{2} + cbxy + dy ^{2} =1}\) ?

Pozdrawiam

[Powermac5500]

Na początek obrócić układ współrzędnych
\(\displaystyle{ x= x'\cos \alpha +y'\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ y= -x'\sin \alpha +y'\cos \alpha}\)

I po przekształceniu tak wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\)
by współczynnik przy \(\displaystyle{ x'y'}\) się zerował.

Aha, i jeszcze jedna uwaga zasadnicza.

Podany wzór nie musi chyba opisywać elipsy. To, czy jest to elipsa zależy od doboru współczynników \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)

[chikwadrat]

powinnam zastosować:

\(\displaystyle{ x= x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\
y= -x'\sin \alpha +y'\cos \alpha}\)

czy

\(\displaystyle{ x= x'\cos \alpha -y'\sin \alpha \\
y= x'\sin \alpha +y'\cos \alpha}\)

?

[Powermac5500]

Twój wzór powinien być zapisany tak:

\(\displaystyle{ x'= x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y'= x\sin \alpha +y\cos \alpha}\)

Ja wyliczyłem z niego \(\displaystyle{ x, y}\)

Zwróć uwagę na subtelną różnicę pomiędzy liczeniem współrzędnych obróconej figury w naszym układzie a liczeniem współrzędnych nieobróconej figury w obróconym układzie.

[Kartezjusz]

Krzywe rozpoznawało się po wyznaczniku pewnej macierzy. Pamięta ktoś?

[Powermac5500]

Krzywe rozpoznawało się po wyznaczniku pewnej macierzy. Pamięta ktoś?

O ile mnie starcza pamięć nie myli, to jeśli rozważamy równanie postaci:
\(\displaystyle{ a x^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}\)

Interesuje nas wyznacznik
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{cc}a&\frac{b}{2}\\\frac{b}{2}&c\end{array}\right|}\)

Pomijając zdegenerowane przypadki, które wymagają dalszej analizy (na przykład są to dwie proste)
Jeśli wyznacznik jest:
\(\displaystyle{ W > 0}\) to mamy elipsę
\(\displaystyle{ W = 0}\) to mamy parabolę
\(\displaystyle{ W < 0}\) to mamy hiperbolę

[Kartezjusz]

Czyli w takim razie nie zawsze musi to elipsa.

[Gouranga]

Kartezjusz, jasne, że nie musi, chociażby dla przypadku \(\displaystyle{ a=d, b\cdot c = 0}\) będziemy mieć okrąg

[Kartezjusz]

To jaki sens miało to zadanie?

[chikwadrat]

Współczynniki są przykładowe. Będzie zachodził warunek W>0. Chodziło dokładnie o przekształcenie do postaci kanonicznej.

[Kartezjusz]

Wykonaj więc polecenia Powermaca....