Wyznacz współrzędne punkty S.

[Wojoz]

Okrąg o środku \(\displaystyle{ S}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\) jest styczny wewnętrznie do okręgów o równaniach \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=25}\) oraz \(\displaystyle{ (x-3) ^{2}+y ^{2}=9}\). Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\). (Na rysunku pokazane, że ma on się znajdować w I części układu współrzędnych.)

Obliczyłem współrzędne punktu przecięcia tych dwóch okręgów, ale nie wiem co dalej.
Proszę o wskazówkę do tego zadania.

[grejon]

To zrób może tak:

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

2. Wyznacz punkty przecięcia tej prostej przez okręgi - wyjdą 4 punkty 2 "zewnętrzne" i 2 "wewnętrzne". Zewnętrzne możesz odrzucić.

3. Wyznacz równania okręgów o środkach z p.2 i promieniu 1.

4. Wyznacz punkty przecięcia okręgów z p.3 - każdy z nich będzie szukanym środkiem.

[mat_61]

To zrób może tak:

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

2. Wyznacz punkty przecięcia tej prostej przez okręgi - wyjdą 4 punkty 2 "zewnętrzne" i 2 "wewnętrzne". Zewnętrzne możesz odrzucić.

3. Wyznacz równania okręgów o środkach z p.2 i promieniu 1.

4. Wyznacz punkty przecięcia okręgów z p.3 - każdy z nich będzie szukanym środkiem.

Dlaczego punkty przecięcia okręgów z p.3 miałyby być szukanym środkiem stycznego okręgu? Chyba, że czegoś nie zrozumiałem w Twoim wyjaśnieniu.

Wskazówka:

Zauważ, że środek \(\displaystyle{ S}\) okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) który jest styczny wewnętrznie do danego okręgu o środku \(\displaystyle{ S_{1}}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_{1}}\) musi leżeć na okręgu o środku \(\displaystyle{ S_{1}}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_{1}-1}\)

Na rysunku pokazane, że ma on się znajdować w I części układu współrzędnych.

Nie wiem czy chodzi o rysunek w podręczniku i należy założyć, że chodzi o rozwiązanie z I "ćwiartki", czy też chodzi o rysunek wykonany przez Ciebie, ale są dwa takie okręgi.

[Wojoz]

Daję link do zdjęcia zrobionego ze zbioru, to jest zadanie 11.
http://zapodaj.net/a44b16e26eefe.jpg.html

[mat_61]

OK. Skorzystaj więc z mojej wskazówki i z dwóch otrzymanych rozwiązań (zauważ, że warunki zadania spełnia - oprócz okręgu narysowanego w podręczniku - także okrąg symetryczny względem osi OX) wybierz ten okrąg który jest narysowany w podręczniku. Czy podana przeze mnie wskazówka jest dla Ciebie zrozumiała?

[Wojoz]

To, że mogłyby być 2 takie okręgi, symetryczny do osi OX rozumiem, ale tą wcześniejszą wskazówkę nie do końca. Chyba, że coś źle odczytuję, \(\displaystyle{ S1}\) to środek okręgu o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,0)}\), więc jak ma leżeć tamten okrąg na okręgu o promieniu 1 z tym środkiem, coś źle interpretuję...

[mat_61]

\(\displaystyle{ S1}\) to środek okręgu o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,0)}\), więc jak ma leżeć tamten okrąg na okręgu o promieniu 1 z tym środkiem, coś źle interpretuję...

Nie napisałem, że na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) tylko na promieniu \(\displaystyle{ r_{1}-1}\)

Zauważ, że skoro okrąg o środku \(\displaystyle{ S}\) ma być styczny wewnętrznie do tego największego okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\), to punkt \(\displaystyle{ S}\) musi leżeć na okręgu współśrodkowym do tego dużego okręgu i promieniu o jeden mniejszym (czyli promieniu równym \(\displaystyle{ 5-1=4}\) )niż ten duży okrąg.
Wiesz dlaczego? Wiesz jaka jest odległość \(\displaystyle{ |SO|}\) ?
Jeżeli ten najmniejszy okrąg będziemy toczyć po wewnętrznej powierzchni największego okręgu, to jaką trasę zakreśli punkt \(\displaystyle{ S}\) ?

[Wojoz]

Tak, teraz rozumiem, więc środek \(\displaystyle{ S}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (x; \sqrt{16-x ^{2} }}\). Teraz mam zamiar podstawić to do wzoru na odległość między dwoma punktami która równa jest 1 \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ P}\)(punkt przecięcia dwóch większych okręgów). Czy da się to tak rozwiązać?

[mat_61]

Nie. Zauważ, że punkt \(\displaystyle{ P}\) (przecięcia okręgów) nie jest odległy o \(\displaystyle{ 1}\) od punktu \(\displaystyle{ S}\) ponieważ, ten najmniejszy okrąg nie przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P}\) (zerknij na rysunek).

Zauważ jeszcze jedną rzecz.
Skoro już widzisz, że punkt \(\displaystyle{ S}\) ze względu na styczność wewnętrzną do największego okręgu leży na okręgu o równaniu:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=16}\)

to teraz zastanów się na jakim okręgu leży punkt \(\displaystyle{ S}\) ze względu na styczność do średniego okręgu.

Będziesz miał równania dwóch okręgów do których należy punkt \(\displaystyle{ S}\) , czyli ... (?)

[Wojoz]

Czyli z układu równań
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}-16=(x-3) ^{2}+y ^{2}-4}\)
Wychodzi mi dobra odpowiedź, nie wiem jak mogłem wcześniej już tego nie zauważyć...
Bardzo dziękuję, za poświęcenie mi czasu

[mat_61]

To co napisałeś to nie jest układ równań, tylko równanie z dwoma niewiadomymi.

Chyba chciałeś napisać tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=16 \\ (x-3)^2+y^2=4 \end{cases}}\)

[Wojoz]

Tak, właśnie tak próbowałem napisać w LaTeXie ale mi nie wychodziło dlatego zrobiłem z tego równanie i zapisałem tak jak wyżej.

[mat_61]

W dostępnych ikonkach po lewej stronie, układ równań jest w ostatniej kolumnie, na piątym miejscu od góry.

Zapis wygląda tak:

Kod: Zaznacz cały

egin{cases} x^2+y^2=16 \ (x-3)^2+y^2=4 end{cases}

[Wojoz]

To już wiem, dlaczego nie działało, bo wpisywałem te równania pomiędzy ukośniki. Dzięki za wytłumaczenie mi tego.