Odwzorowanie zachowuje pole?!

[PiotrowskiW]

Mam problem.
Otóż kolega podał mi takie zadanie:
czy odwzorowanie \(\displaystyle{ f(x,y)=( -16x^{2} +y, x)}\) zachowuje pole?
Co tak właściwie to oznacza? Jak to sprawdzić?
Kolega twierdzi że \(\displaystyle{ f: R^{2} \rightarrow R^{2}}\)
Proszę o pomoc.

[bartek118]

Zgadza się, \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\). Musisz pokazać, że:
\(\displaystyle{ \ell (A) = \ell (f(A))}\)
dla wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a \(\displaystyle{ A \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)}\), gdzie \(\displaystyle{ \ell}\) oznacza miarę Lebesgue'a. Wydaje mi się, że wystarczy sprawdzić, że równość zachodzi tylko dla kostek.

[PiotrowskiW]

Jeśli tak jest, to nadal tego nie rozumiem. Miara lebesgue'a punktu to 0.

[bartek118]

Zauważ, że odwzorowanie jest odwracalne. Weźmy ustaloną kostkę (prostokąt) \(\displaystyle{ Q}\) w przeciwdziedzinie. Jej pole to oczywiście iloczyn wymiarów. Z drugiej strony - znajdź przeciwobraz tego prostokąta \(\displaystyle{ f^{-1} (Q)}\) i policz jego miarę. W ten sposób pokażemy, że dla prostokątów (kostek) twierdzenie zachodzi. Potem musimy jakoś z definicji miary Lebesgue skorzystać (z tego, że jest to infimum miar prostokątów).