Wyliczenie wektorów będących zależnością innych wektorów

[sebap123]

Próbuję rozwiązać dosyć zawiłe zadanie, ale zupełnie nie wiem jak się za nie zabrać, bo jak nie podejdę to za bardzo się "zakopuję" w obliczeniach.

Oto jego treść:

Dane są wektory \(\displaystyle{ \vec{a}=2\vec{m}-\vec{n}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}=\vec{m}-3\vec{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \left|\vec{m}\right|=2}\), \(\displaystyle{ \left|\vec{n}\right|=1}\), \(\displaystyle{ \angle(\vec{m},\vec{n})=\frac{2}{3} \pi}\). Oblicz:
a) iloczyn skalarny tych wektorów
b) pole równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Ja na razie wymyśliłem, że muszę w jakiś sposób obliczyć jak wygląda zarówno \(\displaystyle{ \vec{m}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{n}}\), i wtedy będzie już łatwo wszystko wyliczyć. Problem w tym, że jak zaczynam rozpisywać te równania, to sam się gubię w tym co liczę.

Próbowałem wykorzystać zależność \(\displaystyle{ \vec{m}\circ\vec{n} = \left|\vec{m}\right| \cdot \left|\vec{n}\right| \cdot \cos \alpha}\) i przyrównać to do \(\displaystyle{ \vec{a}\circ\vec{b}}\), ale jakoś nie wydaje mi się, żeby tędy szła droga.

Może ktoś mi podpowiedzieć, jak to zrobić najlepiej?

[Powermac5500]

Na początek wyraziłbym \(\displaystyle{ \vec{m}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n}}\) za pomocą wersorów. Możemy tak ustalić układ współrzędnych, że
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{i}}\)

O ile obliczenia w pamięci mnie nie mylą to

\(\displaystyle{ \vec{m}= \sqrt{3} \vec{j}-\vec{i}}\)

[sebap123]

A mógłbyś tą myśl rozwinąć, bo jakoś nie widzę nic jeszcze.

[yorgin]

Po co komplikować proste zadanie przez wprowadzanie innych układów współrzędnych, gdy wystarczy skorzystać z liniowości iloczynu skalarnego?

\(\displaystyle{ (a,b)=(2m-n,m-3n)=(2m-n,m)-(2m-n,3n)=(2m,m)-(n,m)-(2m,3n)+(n,3n)=2||m||^2-(n,m)-6(n,m)+3||n||^2}\)