Odległość punktu od płaszczyzny

[Evolution09]

Witam.
Mam takie zadanie:
Oblicz odległość pkt. \(\displaystyle{ P(1,0,1)}\) od płaszczyzny, która przechodzi prze punkty \(\displaystyle{ Q(1,0,-1)}\), \(\displaystyle{ R(2,-1,-4)}\) i \(\displaystyle{ S(0,1,2)}\).

Policzyłem sobie najpierw wektory \(\displaystyle{ \vec{QR}=(1,-1,-5)}\) i \(\displaystyle{ \vec{QS}=(-1,1,3)}\), a później wektor normalny, czyli \(\displaystyle{ \vec{QR}\times\vec{QS}=[2,2,0]}\)
Mając już wektor, wstawiłem do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x+2y+D=0}\) dane jednego z punktów i dostałem \(\displaystyle{ D=-2}\). Po podstawieniu do wzoru na odległość pkt. od płaszczyzny otrzymałem, że \(\displaystyle{ d(P,\Pi)=0}\). Oznaczałoby to, że punkt \(\displaystyle{ P}\) także leży na płaszczyźnie. Dobrze to wszystko jest policzone, czy jednak gdzieś jest błąd?

Pozdrawiam.

[szw1710]

A więc równanie tej płaszczyzny to \(\displaystyle{ 2x+2y-2=0}\). Jaki problem podstawić współrzędne punktów celem sprawdzenia czy równanie jest poprawnie napisane?

Równanie OK, wniosek też - punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na tej płaszczyźnie.

[Evolution09]

Po prostu wolałem się upewnić Na ćwiczeniach nie mieliśmy takiego przypadku, a koledze, który też rozwiązywał to zadanie, wyszedł zupełnie inny wynik.
Dzięki.

[szw1710]

A masz błąd w wektorze \(\displaystyle{ \overrightarrow{QR}}\) Zmienia to postać rzeczy.

[Evolution09]

Ups, rzeczywiście. Czyli \(\displaystyle{ \vec{QR}=(1,-1,-3)}\). Teraz wektor normalny wychodzi mi \(\displaystyle{ [0,0,0]}\), jeśli dobrze liczę. I jak dalej to pociągnąć? Wyszłoby na to, że płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ \Pi=0x+0y+0z+D=0}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ D=0}\). Czyli \(\displaystyle{ 0=0}\)?

[szw1710]

Ojojoj... Widać więc, że te punkty są współliniowe i jest nieskończenie wiele płaszczyzn je zawierających. Przypadkiem wyszła Ci jedna z nich. Zupełnym przypadkiem. Jednak masz jeszcze jedno wyjście. Zobacz czy czasem i punkt \(\displaystyle{ P}\) nie leży na tej prostej. Wtedy odległość będzie jednoznacznie równa zero. Jeśli nie - może być taka jaka chcesz (oczywiście nie ujemna ).

[Evolution09]

Czyli do równania \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) za \(\displaystyle{ x, y, z}\) podstawiam współrzędne punktów \(\displaystyle{ Q, R, S}\)? Bo wychodzi mi wtedy coś takiego:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} A-C+D=0\\2A-B-4C+D=0 \\B+2C+D=0 \end{array}}\)

Z pierwszego równania: \(\displaystyle{ D=C-A}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}2A-B-4C+C-A=0\\B+2C+C-A=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A-B-3C=0\\-A+B+3C=0\end{cases}}\)

Czyli znów 0=0...

[szw1710]

Nie przywiązuj się do płaszczyzny. Napisz równanie prostej zawierającej punkty \(\displaystyle{ A,B}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) też do niej siłą rzeczy należy. Sprawdź czy należy do niej także \(\displaystyle{ P}\).

[Evolution09]

Ok, wyszło mi równanie w postaci parametrycznej \(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{-3}=t}\), czyli
\(\displaystyle{ x=t+1}\)
\(\displaystyle{ y=-t}\)
\(\displaystyle{ z=-3t-1}\)

Po podstawieniu punktu wyszło, że punkt P nie należy do tej prostej. Co to w takim razie oznacza? Jaka jest odległość tego punktu od prostej?

[szw1710]

Każda jaka chcesz. Musisz odpowiednio ustawić płaszczyznę. Może być zero, gdy \(\displaystyle{ P}\) będzie na płaszczyźnie leżał. Teraz obracaj sobie płaszczyznę dookoła tej prostej i będą Ci wychodzić bardzo różne odległości.

Sprawdź czy te punkty są poprawnie przepisane. Może nie było intencją układającego, aby rozwiązanie nie było jednoznaczne.

[Evolution09]

Dane są ok, sprawdzałem. Jeśli chciałbym napisać odpowiedź do tego zadania, to jak to sformułować? Zadanie pochodzi z kolokwium, a wcześniej się z taką sytuacją nie spotkałem, ani na ćwiczeniach, ani z ćwiczeń z internetu.

[szw1710]

Zdarzyła mi się kiedyś podobna sytuacja. Nie sprawdziłem czyt podane w miarę losowo współrzędne nie opisują punktów współliniowych. Opisywały. A prawdopodobieństwo, że wybierzemy trzy punkty współliniowe, wynosi zero

Co odpowiedzieć? Jako prowadzący akceptowałem dowolną odpowiedź, dowolny obiekt spełniający warunki mojego zadania. Nie wiem co zrobi Twój prowadzący, jeśli popełnił taką jak moja pomyłkę. Można np. anulować zadanie, jeśli nikt go nie zrobił. Wtedy wyniki kolokwium mogą się polepszyć . Naprawdę nie wiem co Ci odpowiedzieć. Wszystko zależy od konkretnego człowieka.

[Evolution09]

Cóż, kolokwium z czerwca, już dawno sprawdzone. Żadnej informacji na temat tego zadania nie otrzymaliśmy
Dzięki za pomoc.