Równanie płaszczyzny - problem ze znakami

[sebap123]

Mam problem ze znakami w dwóch zadaniach związanych z płaszczyznami:

a) Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(1,-5,4)}\), \(\displaystyle{ B=(-4,3,7)}\). Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\).

b) Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A=(2,-1,3)}\), \(\displaystyle{ B=(-3,1,2)}\) i równoległej do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=[-3,1,4]}\).

a)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[-4-1;3+5;7-4] = [-5;8;3]}\)
i następnie ze wzoru: \(\displaystyle{ A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0}\)

wychodzi mi równanie: \(\displaystyle{ -5x + 8y +3z +33 = 0}\), podczas dy w odpowiedzi do zadania mam równanie: \(\displaystyle{ 5x - 8y -3z -33 = 0}\).

b)
Wyliczam wektory: \(\displaystyle{ \vec{AB}=[2,1,0]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AC}=[4,0,-1]}\)
następnie wektor wodzący poszukiwanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC} = [-1,2,-4]}\)

Po podstawieniu do wzoru z przykładu a wychodzi mi wynik: \(\displaystyle{ -x + 2y - 4z + 8 = 0}\), ale w odpowiedziach znowu mam odwrotne znaki: \(\displaystyle{ x - 2y + 4z - 8 = 0}\)

Czy ktoś mógłby spojrzeć i powiedzieć, gdzie popełniam błąd? Z góry wielkie dzięki.

[grejon]

Nigdzie nie popełniłeś błędu. Po prostu wyszedł ci wektor o przeciwnym zwrocie.

[sebap123]

To co musiałbym zrobić, żeby wektor wyszedł o odwrotnym zwrocie, czyli tym z odpowiedzi?

[grejon]

Pomnożyć równanie płaszczyzny przez -1 obustronnie, zmienić kolejność wektorów w iloczynie wektorowym.