Witam mam pewien problem.
Jak przekształcić równanie ogólne płaszczyzny na parametryczne?
Np mam z \(\displaystyle{ H:(x,y,z) =(-1,0,0) +s(-2,0,1) + t(5,1,0)}\) zrobic z tego ogólną?
\(\displaystyle{ x= -1-2s+5t,
y=1t,
z=0,}\) i co dalej?
Proszę o pomoc;)
postać ogólna płaszczyzny
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
postać ogólna płaszczyzny
Twoja płaszczyzna jest w postaci parametrycznej zawierającej punkt zaczepienia prostej P i dwa nierównoległe niezerowe wektory v1 i v2 leżące w tej płaszczyźnie. Dowolny punkt płaszczyzny X można uzyskać przesuwając punkt P o wektor s*v1 i t*v2, gdzie s i t to dowolne liczby rzeczywiste.
Czyli
\(\displaystyle{ H: \vec{XP}=s*v _{1} +t*v _{2}}\)
\(\displaystyle{ H: [x-x _{P},y-y _{P},z-z _{P} ]=s*[x _{ v _{1}},y _{ v _{1}},z _{ v _{1}}] +t*[x _{ v _{2}},y _{ v _{2}},z _{ v _{2}}]}\)
i stąd układ równań który jest postacią parametryczna prostej.
U Ciebie punkt zaczepienia to P=(-1,0,0), a wektory na których rozpięta jest H to [-2,0,1] i [5,1,0].
Postać ogólna to \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) gdzie wektor normalny (prostopadły do płaszczyzny) ma postać \(\displaystyle{ \vec{n}=[A,B,C]}\).
Twój wektor normalny uzyskasz mnożąc wektorowo wektory [-2,0,1] i [5,1,0]. Uzyskane A,B,C wstawisz do równania ogólnego płaszczyzny. Pozostanie obliczenie D. Uzyskasz je wstawiając do równania współrzędne punktu P.
Czyli
\(\displaystyle{ H: \vec{XP}=s*v _{1} +t*v _{2}}\)
\(\displaystyle{ H: [x-x _{P},y-y _{P},z-z _{P} ]=s*[x _{ v _{1}},y _{ v _{1}},z _{ v _{1}}] +t*[x _{ v _{2}},y _{ v _{2}},z _{ v _{2}}]}\)
i stąd układ równań który jest postacią parametryczna prostej.
U Ciebie punkt zaczepienia to P=(-1,0,0), a wektory na których rozpięta jest H to [-2,0,1] i [5,1,0].
Postać ogólna to \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) gdzie wektor normalny (prostopadły do płaszczyzny) ma postać \(\displaystyle{ \vec{n}=[A,B,C]}\).
Twój wektor normalny uzyskasz mnożąc wektorowo wektory [-2,0,1] i [5,1,0]. Uzyskane A,B,C wstawisz do równania ogólnego płaszczyzny. Pozostanie obliczenie D. Uzyskasz je wstawiając do równania współrzędne punktu P.