Proste prostopadłe zawarte w płaszczyźnie

[woj250]

Podać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny\(\displaystyle{ \pi}\) równoległej do wektora \(\displaystyle{ \left[ \vec{v} \right] \left=[ 2,-3,1\right]}\) oraz zawierającej punkty \(\displaystyle{ A\left( 1,2,-1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ B(3,3,4)}\)

Podaj równania parametryczne dwóch prostych prostopadłych do siebie i zawartych w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)



Wyznaczam \(\displaystyle{ \left[ \vec{AB} \right] \left=[ 2,1,3\right] \right]}\),

później \(\displaystyle{ \left[ \vec{AB} \right]}\) x \(\displaystyle{ \left[ \vec{v} \right] = \left[ 10,4,-8\right]}\)

Moja płaszczyzna to \(\displaystyle{ \pi = 10x + 4y -8z - 10=0}\)

W postaci parametrycznej :
\(\displaystyle{ x=2t+2s+1}\)

\(\displaystyle{ y=t-3s+2}\)

\(\displaystyle{ z=3t+s+1}\)

2cz. zadania
Aby wyznaczyć 2 proste proste zakładam że potrzebuje 2 wektory prostopadłe + po punkcie na tych wektorach. Pierwszym będzie wektor między danymi punktami czyli \(\displaystyle{ \left[ \vec{AB} \right] \left=[ 2,1,3\right]}\)

a drugi wektor to \(\displaystyle{ \left[ \vec{AC} \right] \left=[ 2t+2s,-3t+s,t+s\right]}\)

i tutaj mnożąc skalarnie tak żeby AB i AC były prostopadłe dochodzę do t zależnego od s i nie wiem co zrobić.

Proszę o wskazówkę co robię źle i gdzie popełniam błąd.
Dziękuje za pomoc
Pozdrawiam

[kerajs]

Masz:
\(\displaystyle{ \left[ \vec{AB} \right] \left=[ 2,1,3\right] \right]}\)
a powinno być
\(\displaystyle{ \vec{AB} \left=[ 2,1,5\right] \right]}\)


Wektorów prostopadłych do twojego AB jest nieskończenie wiele i stąd zależność między s i t. Przyjmij dowolną wartość s a otrzymasz konkretny wektor