Równanie płaszczyzny

[Nie_umiem]

Mam takie zadanie:
Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez proste:
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{1}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+1}{-2}}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{1}= \frac{y}{-1}= \frac{z}{-2}}\)

Wymyśliłam żeby zastosować tutaj iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [1,-1,-2] \times [1,-1,-2]}\)
Wyszło mi 0.
I nie wiem jak teraz...

[MakCis]

A czy to nie będzie przypadkiem płaszczyzna rozpięta przez te dwa wektory?

[Nie_umiem]

A czy to nie będzie przypadkiem płaszczyzna rozpięta przez te dwa wektory?

Możliwe, ale co w takim wypadku powinnam zrobić?

[kerajs]

Wymyśliłam żeby zastosować tutaj iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [1,-1,-2] \times [1,-1,-2]}\)
Wyszło mi 0.
I nie wiem jak teraz...

Bo to proste równoległe.
Za drugi wektor przyjmij wektor między punktami zaczepienia tych prostych. Czyli (3,1,-1) i (-1, 0.0).
Iloczyn wektorowy tych wektorów da wektor normalny płaszczyzny, a jednego z powyższych punktów użyj do wyznaczenia równania płaszczyzny.

[Nie_umiem]

Niestety ciągle nie rozumiem.
Zrobiłam
\(\displaystyle{ [1,-1,-2] \times [1,-1,-2]}\)
Później obliczyłam x,y,z względem drugiego punktu i wyszedł mi bledny wynik

[lukasz1804]

Zadanie można też rozwiązać inną metodą.

Załóżmy, że szukana płaszczyzna jest opisana równaniem ogólnym postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), przy czym \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) nie są równe zeru jednocześnie.
Dane proste mają następującą postać parametryczną:

\(\displaystyle{ (1,-1,-2)t+(3,1,-1)=(t+3,-t+1,-2t-1)}\),

\(\displaystyle{ (1,-1,-2)s+(-1,0,0)=(s-1,-s,-2s)}\).

Skoro szukana płaszczyzna ma zawierać obie proste, to równania

\(\displaystyle{ A(t+3)+B(-t+1)+C(-2t-1)+D=0}\),

\(\displaystyle{ A(s-1)-Bs-2Cs+D=0}\)

z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ s}\) odpowiednio, mają nieskończenie wiele rozwiązań. Równania te przyjmują równoważną postać

\(\displaystyle{ (A-B-2C)t+(3A+B-C+D)=0}\),

\(\displaystyle{ (A-B-2C)s-A+D=0}\).

Skoro równania te mają nieskończenie wiele rozwiązań, to muszą zachodzić jednocześnie równości

\(\displaystyle{ \begin{cases} A-B-2C=0 \\ 3A+B-C+D=0 \\ -A+D=0 \end{cases}}\).

Wystarczy teraz rozważyć dwa przypadki \(\displaystyle{ A=0, A=1}\) (jeśli \(\displaystyle{ A\ne 0}\), to dzieląc równanie płaszczyzny stronami przez \(\displaystyle{ A}\) otrzymujemy równanie tej samej płaszczyzny z współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x}\) równym \(\displaystyle{ 1}\)).

Łatwo sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ A=0}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=C=D=0}\). Należy zatem rozważyć jedynie przypadek \(\displaystyle{ A=1}\).