Dane są 3 płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \pi_1: \ -x+y-2z=0 \\
\pi_2: \ x-3y+3z=0 \\
\pi_3: \ x+y+z=2}\)
a)Wyznaczyć prosta \(\displaystyle{ l_1}\) bedaca przecięciem płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_1 \ i \ \pi_3}\) oraz prosta \(\displaystyle{ l_2}\) bedaca przecięciem płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_2 \ i \ \pi_3}\)
b)Wyznaczyc odległość miedzy prostymi \(\displaystyle{ l_1 \ i \ l_2}\)
c)Podać punt \(\displaystyle{ C=(x_0,y_0,z_0)}\) lezacy na prostej \(\displaystyle{ l_1}\), taki, ze \(\displaystyle{ z_0=0}\), a następnie wyznaczyć punkt \(\displaystyle{ C"}\) symetryczny do punktu \(\displaystyle{ C}\) względem prostej \(\displaystyle{ l_2}\).
Proszę o pomoc
Proste, punkt symetryczny
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Proste, punkt symetryczny
a)W postaci krawędziowej prosta l1 to po prostu układ równań z równań płaszczyzn P1 i P3.
Postać parametryczna lub kanoniczna wymaga znajomości wektora kierunkowego i punktu zaczepienia prostej w przestrzeni . Uzyskać to możesz choćby tak:
Wektor kierunkowy prostej l1 to iloczyn wektorów normalnych płaszczyzn P1 i P3 . Punkt zaczepienia prostej znajdziesz z układu równań P1 i P2 przyjmując jedną ze współrzędnych za daną (np.: x=2 czy z=0)
b) Odległość między prostymi skośnymi można policzyć np. tak:
Iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych tych prostych da wektor normalny dla dwóch równoległych płaszczyzn które będą przechodzić przez punkty zaczepienia tych prostych ( postać parametryczna, kanoniczna) lub przez dowolne punkty tych prostych (p. krawędziowa) . Odległość między płaszczyznami to odległość między prostymi skośnymi.
c)Mażesz to zrobić choćby tak:
Pkt C znajdziesz wstawiając podaną wartość ,,z' do równania krawędziowego prostej l1. Następnie stworzysz równanie płaszczyzny prostopadłej do l2 i zawierającej pkt. C . Znajdziesz punkt D będący punktem przebicia tej płaszczyzny przez prostą l2. Wtedy
\(\displaystyle{ \vec{CD} = \vec{DC'}}\)
Postać parametryczna lub kanoniczna wymaga znajomości wektora kierunkowego i punktu zaczepienia prostej w przestrzeni . Uzyskać to możesz choćby tak:
Wektor kierunkowy prostej l1 to iloczyn wektorów normalnych płaszczyzn P1 i P3 . Punkt zaczepienia prostej znajdziesz z układu równań P1 i P2 przyjmując jedną ze współrzędnych za daną (np.: x=2 czy z=0)
b) Odległość między prostymi skośnymi można policzyć np. tak:
Iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych tych prostych da wektor normalny dla dwóch równoległych płaszczyzn które będą przechodzić przez punkty zaczepienia tych prostych ( postać parametryczna, kanoniczna) lub przez dowolne punkty tych prostych (p. krawędziowa) . Odległość między płaszczyznami to odległość między prostymi skośnymi.
c)Mażesz to zrobić choćby tak:
Pkt C znajdziesz wstawiając podaną wartość ,,z' do równania krawędziowego prostej l1. Następnie stworzysz równanie płaszczyzny prostopadłej do l2 i zawierającej pkt. C . Znajdziesz punkt D będący punktem przebicia tej płaszczyzny przez prostą l2. Wtedy
\(\displaystyle{ \vec{CD} = \vec{DC'}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 1 raz
Proste, punkt symetryczny
jezeli chodzi o b to proste mi wyszły rownoległe, wiec moge po prostu wybrac sobie punkt P nalezacy do jednej prostej i zrobic rzut na druga prosta i obliczyc odległośc tych punktów?
a do c) to ten punkt C wychodzi \(\displaystyle{ C=(1,1,0)}\)? i czy w tym podpunkcie mogę zrobić tak, ze znajde rzut punktu C na prosta \(\displaystyle{ l_2}\) i wtedy odległość punkt C i rzutu bedzie sie równała odległości C" i rzutu C?
a do c) to ten punkt C wychodzi \(\displaystyle{ C=(1,1,0)}\)? i czy w tym podpunkcie mogę zrobić tak, ze znajde rzut punktu C na prosta \(\displaystyle{ l_2}\) i wtedy odległość punkt C i rzutu bedzie sie równała odległości C" i rzutu C?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Proste, punkt symetryczny
Tak, ale w obliczonej przez Ciebie odległości od prostej L2 leży nieskończenie wiele punktów.aqlec pisze:a do c) to ten punkt C wychodzi \(\displaystyle{ C=(1,1,0)}\)? i czy w tym podpunkcie mogę zrobić tak, ze znajde rzut punktu C na prosta \(\displaystyle{ l_2}\) i wtedy odległość punkt C i rzutu bedzie sie równała odległości C" i rzutu C?
Jeśli nie chcesz liczyć współrzędnych pkt C" wektorami (to najszybsza opcja) to możesz np. znaleźć równanie prostej przechodzącej przez C i przez rzut C na prostą L2 (nazywę go D). Następnie równanie sfery o środku w D oraz promieniu równym |CD|. Układ równań prostej i sfery da punkty C i C' (ale to o wiele dłuzsza droga).