Znajdź równanie okręgu/Znajdź zbiór środków okręgów

[Smiaro]

Witam,
na wstępie chciałby dodać, że podane poniżej zadania "pochodzą" z głowy nauczyciela, a moje próby rozwiązania ich analogicznie do zadań o podobnej treści (znalezionych w internecie) nie przyniosły oczekiwanych rezultatów. Stąd też zwracam się do Was, Drodzy Forumowicze, o pomoc.

\(\displaystyle{ 1)}\) Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ y=x}\) przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ (8,-6)}\) i którego środek znajduje się na prostej o równaniu \(\displaystyle{ x+2y+5=0}\)

Zadanie to wydaje mi się niesamowicie proste (i takie zapewne jest) jednak mam problem z przeanalizowaniem ostatnich linijek tj. "którego środek znajduje się na prostej o równaniu \(\displaystyle{ x+2y+5=0}\)". Próbowałem podstawiać \(\displaystyle{ x,y}\) jako \(\displaystyle{ a,b}\) do równania okręgu ale nie wychodziło mi z tego nic sensownego (lub nie byłem w stanie tego zauważyć). Kombinowanie z wzorami na odległość środka okręgu od prostej/punktu też dużo nie dało.


\(\displaystyle{ 2)}\) Znaleźć zbiór środków okręgów stycznych do prostej \(\displaystyle{ y=2}\) i okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\)

Tutaj znowu przeszkadza mi fakt, że prosta przecina okrąg w 2 punktach przez co tworzą nam się 2 parabole które wyznaczają zbiór środków okręgów. Korzystałem z metody ustalania warunków jaki musi spełniać środek jednak nie umiałem tego odpowiednio przekształcić na potrzeby tego zadania.

Mam nadzieję, że jakaś dobra dusza mi pomoże z tymi zadankami, gdyż przygotowuję się do poprawki z matematyki i te 2 typy zadań sprawiają mi problemy (,a bardzo chciałbym się dostać do klasy maturalnej).

P.S. Sąd ostateczny w środę

[Ser Cubus]

zróbmy najpierw zadanie nr 1, tzn Ty zrób. Co wiemy?

Okręg styczny do prostej y = x, więcweźmy sobie dowolny pkt (x,y) np \(\displaystyle{ P_1 (x, x)}\), możemy tak zrobić ponieważ y=x

Dalej \(\displaystyle{ P_2(8,-6)}\) leży w tej samej odległości co pkt 1 (coś Ci to już powinno mówić)

Środek naszego okręgu leży na prostej danej tym równaniem:
\(\displaystyle{ x+2y+5=0//
y=-0.5x-2.5}\)
Wyznaczyłem tutaj równanie prostej. Znowu bierzemy sobie jakiś tam punkt z tej osi\(\displaystyle{ ( x, -0.5x-2.5)}\)

Teraz trzeba tylko ułożyć odpowiednie równania uwzględniające to, że 2 pierwsze pkt są równo oddalone od pierwszego

[Smiaro]

No własnie coś mi nie chcą te równania się zgodzić. Najpierw próbowałem równaniem na odległość 2 punktów:
\(\displaystyle{ P_{1}(x,x) \\
P_{2}(8,-6) \\
P_{3}(x,-0.5x-2.5)\\}\)
\(\displaystyle{ |P_{3}P_{1}|=|P_{3}P_{2}|}\) stosując wzór na odległość 2 punktów.
Równanie po podstawieniu:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-x)^{2}+(-0.5x-2.5-x)^{2}}=\sqrt{(x-8)^{2}+(-0.5x-2.5+6)^{2}}}\) i tutaj pojawia się problem bo po skróceniu otrzymałem \(\displaystyle{ x^{2}+27x-70=0}\) (błędu nie popełniłem bo sprawdzałem wolframem). Pierwiastki tego równania to \(\displaystyle{ x_{1}=1/2(-27- \sqrt{1009}) \\ x_{2}=1/2(-27+\sqrt{1009})}\)


Spróbowałem, więc metodą na odległość punktu od prostej (a nuż coś się uda):
\(\displaystyle{ \frac{|x+2x+5|}{ \sqrt{1^{2}+2^{2}} }=\frac{|8-12+5|}{ \sqrt{1^{2}+2^{2}} }}\) z tego otrzymałem, że \(\displaystyle{ x_{1}= -\frac{4}{3} \\ \vee x_{2}=-2}\)
Jednak przecież nie sprawdzę tak odległości do konkretnego punktu, lecz od całej prostej, a nie o to mi chodzi.

[piasek101]

1) Nie wpatruję się w Twoje.

\(\displaystyle{ S(x_s;-0,5x_s-2,5)}\) z porównania odległości od \(\displaystyle{ x-y=0}\) oraz od \(\displaystyle{ (8;-6)}\) ma wyjść (dwie sztuki).

2) Pokaż dokładnie co robiłeś.

[Ser Cubus]

odległość pkt od prostej to naturalnie odległość do najbliższym punktem od danego, dokładniej do punktu, wyznaczonego przez prostą prostpodałą przechodzącą przez dany pkt. Czyli ta metoda też jest dobra, ponieważ nasza prosta jest styczna do okręgu, czyli ma 1 punkt wspólny, a to oznacza że ten punkt będzie najbliższy naszemu środkowi, oraz że promień poprowadzony ze środka będzie prostpadały do tej prostej

[piasek101]

Nie pisałem, że jest zła.

[Smiaro]

@Ser Cubus
W takim razie mam rozumieć, że są 2 przypadki?:
\(\displaystyle{ P_{1}(- \frac{4}{3} ,- \frac{4}{3} ) \ \ \ \ \ \ \ \ P_{1}(-2 ,-2)\\ P_{2}(8,-6) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_{2}(8 ,-6) \\ P_{3}(- \frac{4}{3},- \frac{1}{6} ) \ \ \vee \ \ P_{3}(-2,- \frac{3}{2} )}\)

Widać na wykresie nawet, że to się nie zgadza. Chociaż gdyby miejscami odwróciły się znaki to już wyglądałoby to dużo sensowniej.


@piasek101

\(\displaystyle{ 1)}\)
Porównałem \(\displaystyle{ P_{3}=S(x_{s},-0.5x_{s}-2.5)}\) do prostej \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(8,-6)}\)

Z działania:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-8)^{2}+(-0.5x-2.5+6)^{2}}=\frac{|x+0.5x+2.5|}{ \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} }}\)

otrzymuję pierwiastki:\(\displaystyle{ x_{1}=93-24 \sqrt{14} \approx 3,2 \\
x_{2}=93+24 \sqrt{14} \approx 182,8}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)
Jutro wpadnie do mnie znajomy z którym zajmę się tym zadaniem, więc chwilowo o nim zapomnijmy. Jak nie wytłumaczy mi wystarczająco to zamieszczę wszystko koło południa.

----------------------------------------
@edit

\(\displaystyle{ 1)}\)
Doszedłem do pewnego wyniku jednak mam drobne wątpliwości, bo promień \(\displaystyle{ r}\) wyszedł mi taki sam jak współrzędna \(\displaystyle{ a}\) środka okręgu.

Równanie jakie wskazał mi piasek101 rzeczywiście dawało prawidłowe pierwiastki tj.
\(\displaystyle{ x_{1}=93-24 \sqrt{14} \approx 3,2 \\
x_{2}=93+24 \sqrt{14} \approx 182,8}\) z czego \(\displaystyle{ x_{2}}\) nie spełniał warunku \(\displaystyle{ |SP_{1}|=|SP_{2}|}\) (,gdzie punkt \(\displaystyle{ S=P_{3}}\). Sorki za 2 oznaczenia ale nie chce już edytować poprzednich postów)

Wyznaczyłem sobie \(\displaystyle{ r^{2}=(93-24 \sqrt{14})^{2} \approx 10.24}\) i potem już z górki doszedłem do wyniku \(\displaystyle{ o: (x+3.2)^2+(y+4.1)^2=10.24}\)


\(\displaystyle{ 2)}\)
Tutaj poszło dużo prościej.
Najpierw założenia: \(\displaystyle{ x\neq \sqrt{5} \wedge x\neq -\sqrt{5}}\) (środek okręgu nie może leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=2}\))

Teraz wyznaczam sobie punkt \(\displaystyle{ P(x_{p},y_{p})}\) będący środkiem okręgu, który należy do szukanej przez nas funkcji . Pamiętając, że okrąg ten jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9 \\ S(0,0) \ R=3}\) oraz prostej \(\displaystyle{ y=2}\) wyznaczam sobie promień \(\displaystyle{ r}\) mojego okręgu.

\(\displaystyle{ r=\underbrace{\sqrt{x^{2}_{p}+y^{2}_{p}}}_{|PS|}-\underbrace{3}_{R}=\underbrace{|y_{p}-2|}_{y_{p}-y_{prostej}}}\)

Rozbijamy moduł na 2 przypadki i otrzymujemy
\(\displaystyle{ y_{p}-2=\sqrt{x^{2}_{p}+y^{2}_{p}}-3 \ \vee \ y_{p}-2=-\sqrt{x^{2}_{p}+y^{2}_{p}}+3}\)

W efekcie otrzymujemy 2 równania połączone alternatywą:
\(\displaystyle{ \ \ \ y=\frac{x^{2}-1}{2} \\ \vee y= \frac{x^{2}-25}{10}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}-\left\{ {-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right\}}\)
będące zbiorami środków okręgów stycznych do prostej\(\displaystyle{ y=2}\) i okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\)