Pokazac, ze punkt \(\displaystyle{ P=(0,0,0)}\) należy do każdej płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji:
\(\displaystyle{ F(x,y)=xf( \frac{y}{x})}\)
Kompletnie nie wiem jak to ruszyc
punkt nalezacy do płaszczyzny stycznej
-
szw1710
punkt nalezacy do płaszczyzny stycznej
Aby istniała płaszczyzna styczna, trzeba coś założyć o funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wystarczy klasa \(\displaystyle{ C^1(\RR)}\). Skorzystaj z równania płaszczyzny stycznej do wykresy funkcji dwóch zmiennych \(\displaystyle{ F(x,y)}\) angażującego pochodne cząstkowe.
Równanie tej płaszczyzny w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ z_0=F(x_0,y_0)}\):
\(\displaystyle{ z=z_0+\frac{ \partial F}{ \partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{ \partial F}{ \partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)}\)
Punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny (tzw. punktem bieżącym - generic point).
Równanie tej płaszczyzny w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ z_0=F(x_0,y_0)}\):
\(\displaystyle{ z=z_0+\frac{ \partial F}{ \partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{ \partial F}{ \partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)}\)
Punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny (tzw. punktem bieżącym - generic point).