Hiperpłaszczyzna w R^4

[ZaxHunter]

Czy hiperpłaszczyzny w \(\displaystyle{ R^4}\) zachowują się tak jak płaszczyzny w \(\displaystyle{ R^3}\)?

Muszę obliczyć kąt pomiędzy tymi hiperpłaszczyznami oraz znaleźć parametryczne przedstawienie ich części wspólnej i nie wiem jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ 3w-x+2y-4z=5}\)
\(\displaystyle{ w+x-y+z=3}\)

Czy wektory prostopadłe będą miały postać:
\(\displaystyle{ [3,-1,2,-4]}\)
\(\displaystyle{ [1,1,-1,1]}\)

Jak zmienią się wzory z \(\displaystyle{ R^3}\) dla wektorów \(\displaystyle{ R^4}\)? (wzór na kąt między wektorami i jeśli nadal są potrzebne wzory na iloczyn skalarny i długość wektora).

[szw1710]

Musisz policzyć kąt między wektorami prostopadłymi. Jego cosinus to iloczyn skalarny dzielony przez iloczyn długości. Normalnie jak na płaszczyźnie czy w przestrzeni trójwymiarowej.

[ZaxHunter]

A więc:
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{[3,-1,2,-4]\circ[1,1,-1,1]}{\sqrt{(3)^2+(-1)^2+(2)^2+(-4)^2}\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2+1^2}}}\)

A to po wymnożeniu, zredukowaniu i wyciągnięciu dwójki z pierwiastka:

\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{-4}{2\sqrt{30}}}\)
Co po redukcji da:

\(\displaystyle{ \cos \alpha=-\frac{\sqrt{30}}{15}}\)


Zgadza się wszystko?
A jak znaleźć parametryczne przedstawienie ich części wspólnej?
W \(\displaystyle{ R^3}\) byłaby to chyba prosta, a tutaj? Trójwymiarowa płaszczyzna?

[szw1710]

Część wspólna jest dwuwymiarowa, co widać z macierzy utworzonej z tych wektorów. Rozwiązanie odpowiedniego układu równań ma po prostu dwa parametry. A więc płaszczyzna w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\).

[ZaxHunter]

Przyjąłem y i z jako parametry i wyszło mi po wykonaniu przekształceń że:
\(\displaystyle{ x=\frac{5}{4}y-\frac{1}{4}z+1}\)
\(\displaystyle{ w=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}z+4}\)

Czyli część wspólna to zbiór A={\(\displaystyle{ (x,w): x=\frac{5}{4}y-\frac{1}{4}z+1; w=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}z+4}\)} ?