objętość czworościanu

[BlueSky]

W czworościanie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}\) środki okręgów wpisanych w ściany tego czworościanu są wierzchołkami nowego czworościanu. Wyznaczyć jego objętość.

[bakala12]

Twój czworościan to ostrosłup prawidłowy o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i krawędziach bocznych równych \(\displaystyle{ 1}\). Najlepiej narysuj go podstawą do dołu, czyli normalnie. Połącz wierzchołek z środkami krawędzi podstawy. Popatrz teraz na środki okręgów wpisanych w ściany boczne. Leżą one na przed chwilą narysowanych odcinkach. Można łatwo wyliczyć kawałki na jakie jest podzielony ten odcinek. Stąd można wyliczyć stosunek odcinków na jakie jest podzielona wysokość czworościanu i można policzyć wysokość "naszego" czworościanu. Krawądź podstawy "naszego" ostrosłupa wyliczymy również ze skali podobieństwa małego i dużego ostrosłupa (tych z środkowymi ścian bocznych). Mając to łatwo wyliczyć objętość.