2 sfery, wektor przemieszczenia

[Phomerus]

Witam,
Muszę znaleźć sposób na obliczenie wektora przemieszczenia pomiędzy jednym punktem na ziemi i drugim punktem nad ziemią (samolot). Znamy wspołrzędne geograficzne obu punktów.

Osobiście wymyśliłem rozwiązanie następujące:
punkt na ziemi lezy na sferze o promieniu ziemskim, natomiast drugi punkt lezy na sferze o promieniu ziemskim + wysokość samolotu. Wspolrzedne sferyczne przeliczam na kartezjanskie (poczatek układu wspołrzednych jest w srodku ziemi). Majac 2 takie punkty latwo obliczam wektor. Problem jest w tym ze nasz wektor musi byc wyliczony tak jakby znajdowal sie idealnie na biegunie. Nie wiem jednak do konca jak przeksztalcic ten wektor zeby to osiagnac (nie jestem pewien czy pewne katy pojawiajace sei w zadaniu odpowiadaja sobie itp. - mogę na przykład obrócić go o kąt będący różnicą wspolrzednych bieguna i współrzednych punktu, czy to sie nie przekłada tak pieknie?). Moglbym tez przyjac ze moj punkt na ziemi ma wspolrzedne 90, 0 np. ale raczej wyjdzie mi bzdura z uwagi na koniecznosc wzieca pod uwage roznej dlugosci rownoleznikow.

Bylbym wdzieczny za pomoc i wytkniecie ewentualnych bzdur w moim mysleniu.


Druga sprawa ze moje rozwiazanie moze byc cudacznym i zbyt kombinatorskim ze wzgledu na brak odpowiedniej wiedzy dlatego jezeli znacie jakies bardziej eleganckie rozwiazanie tego problemu to chetnie poslucham.

Pozdrawiam

Edit:
Dopiero po napisaniu posta zauwazylem dziall "geometria analityczna". Jakby jakis mily admin mogl przeniesc topik byloby super

Edit2:
Wszystko sobie rozrysowalem jeszcze raz i wyglada na to, ze wystarczy obrocic obliczony wektor o kat ktory jest roznica pomiedzy wspolrzednymu punktu a wspolrzednymi bieguna. Pozostaje pytanie czy istnieje lepsze rozwiazanie problemu?

[Martingale]

Na znajdziesz wzory na zamianą współrzędnych sferycznych na kartezjańskie. Przelicz współrzędne obu punktów, niech pierwszy to będzie A, zaś drugi -- B.

Używając tych samych oznaczeń co na Wiki, niech \(\displaystyle{ a = [x_a,y_a,z_a]}\) oraz \(\displaystyle{ b = [x_b,y_b,z_b]}\) (dwa wektory w \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\)). Jeżeli odejmiesz jeden od drugiego, dostaniesz trzeci wektor: zaczepiony w jednym punkcie i zakończony w drugim. Oblicz jego długość (wiesz jak?), a dostaniesz żądaną odległość.

[Phomerus]

No napisales dokladnie to co ja xD


Kolejne pytanko mam za to. Tak jak napisalem wczesniej:

Muszę znaleźć sposób na obliczenie wektora przemieszczenia pomiędzy jednym punktem na ziemi (A) i drugim punktem nad ziemią (samolot - B). Znamy wspołrzędne geograficzne obu punktów.

Chodzi o to ze ten wyliczony wektor musze miec w takiej postaci jakby punkt A byl na biegunie bez wzgledu na to jakie ma wspolrzedne . Jest to konieczne poniewaz dzieki temu wektorowi obliczam jak ustawic orientacje urzadzenia zeby bylo skierowane w strone samolotu - dlatego po jego (wektora) wyliczeniu jest on bezuzyteczny dopoki go odpowiednio nie obroce. Tylko problem w tym ze po samym obróceniu wektora dostaje dziwne wyniki (np. punkt B bedacy oddalony o 20km od punktu A i bedacy na wysokosci 10km tworzy z punktem A wektor ktorego wspolrzedna z(wysokosc) wynosi 8.5km kiedy z obliczen na kartce mi wychodzi ze roznica w wysokosci na takiej odleglosci to jedynie 39m, wiec wynik powinien wynosic 9961m). Podejrzewam ze przyczyna problemu jest w roznych dlugosciach rownoleznikow.

Dlatego moje pytanie brzmi: czy moge przyjmowac ze punkt A ma wspolrzedne sferyczne 0.0 Lat, 0.0 Lon a punkt B to po prostu deltaLat,delatLon (gdzie deltaLat to roznice rzeczywistych wspolrzednych tych punktow)? Czy ten sposob umozliwi mi poprawne obliczenie wektora na dowolnych wspolrzednych? Dodam ze ten sposob zwraca mi identyczny wynik wspolrzednej z jak liczony na kartce. Boje sie tylko ze w takiej wersji pojawi sie przeklamanie na innych wspolrzednych (x,y).