Witam,
Proszę forumowiczów o odpowiedź czy to zadanie jest rozwiązywalne (i ewentualnie o rozwiązanie - będę bardzo wdzięczny), mając dane współrzędne czterech punktów:
A=(XA,YA)
B=(XB,YB)
C=(XC,YC)
F=(XF,YF)
oraz znając stosunek odległości pomiędzy punktami leżącymi na wspólnej prostej przechodzącej przez punkt F=(XF,YF), tj:
odcinek DE=2a
odcinek EF=3a
odcinek FG=a
należy obliczyć współrzędną punktu H=(XH,YH)
opis do rysunku:
- odcinki AB i BC nie leżą na wspólnej prostej (tj. punkt B nie leży na odcinku AC)
- punkt D leży na odcinku AH
- punkt E leży na odcinku BH
- punkt G leży na odcinku CH
łamigłówka geometrii analitycznej
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
łamigłówka geometrii analitycznej
witam, ciekawy problem
to się da względnie łatwo policzyć
zakładam że prosta na której mają leżeć punkty \(\displaystyle{ D,E,F,G}\) jest ustalona, a punkty \(\displaystyle{ D,E,F,G}\) mają leżeć w tej kolejności; niech ta prosta nazywa się \(\displaystyle{ l}\)
algorytm:
1. wybierz dwa losowe punkty \(\displaystyle{ D_1, D_2}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\) (mają być różne)
2. znajdź takie punkty \(\displaystyle{ E_1, E_2}\) że \(\displaystyle{ \frac{\vec{DE_1}}{\vec{E_1F}} =\frac{\vec{DE_2}}{\vec{E_2F}} = \frac 23}\)
3. znajdź punkty \(\displaystyle{ K_1 = AD_1 \cap BE_1, K_2 = AD_2 \cap BE_2}\)
4. znajdź krzywą stożkową \(\displaystyle{ \mathcal S}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ A,B,F,K_1,K_2}\)
5. znajdź punkty \(\displaystyle{ G_1, G_2}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{\vec{DG_1}}{\vec{G_1F}} =\frac{\vec{DG_2}}{\vec{G_2F}} = - 6}\)
6. znajdź punkty \(\displaystyle{ L_1 = BE_1 \cap CG_1, L_2 = BE_2 \cap CG_2}\)
7. znajdź krzywą stożkową \(\displaystyle{ \mathcal T}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ B,C,F,L_1,L_2}\)
8. znajdź jakiś punkt wspólny stożkowych \(\displaystyle{ \mathcal{S,T}}\) różny od \(\displaystyle{ B,F}\) - jest on szukanym punktem \(\displaystyle{ H}\)
nie mam teraz czasu żeby tłumaczyć dlaczego to powinno działać
pozdrawiam
to się da względnie łatwo policzyć
zakładam że prosta na której mają leżeć punkty \(\displaystyle{ D,E,F,G}\) jest ustalona, a punkty \(\displaystyle{ D,E,F,G}\) mają leżeć w tej kolejności; niech ta prosta nazywa się \(\displaystyle{ l}\)
algorytm:
1. wybierz dwa losowe punkty \(\displaystyle{ D_1, D_2}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\) (mają być różne)
2. znajdź takie punkty \(\displaystyle{ E_1, E_2}\) że \(\displaystyle{ \frac{\vec{DE_1}}{\vec{E_1F}} =\frac{\vec{DE_2}}{\vec{E_2F}} = \frac 23}\)
3. znajdź punkty \(\displaystyle{ K_1 = AD_1 \cap BE_1, K_2 = AD_2 \cap BE_2}\)
4. znajdź krzywą stożkową \(\displaystyle{ \mathcal S}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ A,B,F,K_1,K_2}\)
5. znajdź punkty \(\displaystyle{ G_1, G_2}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{\vec{DG_1}}{\vec{G_1F}} =\frac{\vec{DG_2}}{\vec{G_2F}} = - 6}\)
6. znajdź punkty \(\displaystyle{ L_1 = BE_1 \cap CG_1, L_2 = BE_2 \cap CG_2}\)
7. znajdź krzywą stożkową \(\displaystyle{ \mathcal T}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ B,C,F,L_1,L_2}\)
8. znajdź jakiś punkt wspólny stożkowych \(\displaystyle{ \mathcal{S,T}}\) różny od \(\displaystyle{ B,F}\) - jest on szukanym punktem \(\displaystyle{ H}\)
nie mam teraz czasu żeby tłumaczyć dlaczego to powinno działać
pozdrawiam
-
biker23
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 15 gru 2012, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: abc
- Podziękował: 1 raz
łamigłówka geometrii analitycznej
Wielkie dzięki timon92
"zakładam że prosta na której mają leżeć punkty D,E,F,G jest ustalona, a punkty D,E,F,G mają leżeć w tej kolejności; niech ta prosta nazywa się l" (cyt. timon92)
prosta na której mają leżeć punkty D,E,F,G jest ustalona w tym sensie, że wiadomo tylko tyle że przechodzi ona przez punkt F - czy podany przez Ciebie algorytm będzie wtedy działał?
TAK - założenie jest takie że punkty D,E,F,G mają leżeć w tej kolejności
jeszcze taki oto rysunek:
... zamieszczam dla zobrazowania problemu - może się przyda - czy podany przez Ciebie algorytm będzie wtedy działał?
<--- lepsza rozdzielczość powyższego rysunku
"zakładam że prosta na której mają leżeć punkty D,E,F,G jest ustalona, a punkty D,E,F,G mają leżeć w tej kolejności; niech ta prosta nazywa się l" (cyt. timon92)
prosta na której mają leżeć punkty D,E,F,G jest ustalona w tym sensie, że wiadomo tylko tyle że przechodzi ona przez punkt F - czy podany przez Ciebie algorytm będzie wtedy działał?
TAK - założenie jest takie że punkty D,E,F,G mają leżeć w tej kolejności
jeszcze taki oto rysunek:
... zamieszczam dla zobrazowania problemu - może się przyda - czy podany przez Ciebie algorytm będzie wtedy działał?
<--- lepsza rozdzielczość powyższego rysunku
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
łamigłówka geometrii analitycznej
Prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ F}\) jest nieskończenie wiele. Pisząc "ustalona prosta" miałem na myśli to, że wybieramy sobie jedną konkretną prostą (np. taką poziomą jak na Twoich rysunkach). Algorytm zadziała prawie zawsze. Nie zadziała tylko wtedy, gdy żądany punkt \(\displaystyle{ H}\) nie istnieje (taka sytuacja ma miejsce np. dla punktów \(\displaystyle{ A=(0,2), B=(2,3), C=(6,1), F=(5,0)}\) i prostej \(\displaystyle{ y=0}\), czyli prostej "poziomej").biker23 pisze:prosta na której mają leżeć punkty D,E,F,G jest ustalona w tym sensie, że wiadomo tylko tyle że przechodzi ona przez punkt F - czy podany przez Ciebie algorytm będzie wtedy działał?
-
biker23
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 15 gru 2012, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: abc
- Podziękował: 1 raz
łamigłówka geometrii analitycznej
timon92, czy niezależnie jak będzie pochylona ta prosta przechodząca przez punkty D,E,F,G to wynik XH YH będzie zawsze ten sam ostatecznie (nie biorąc pod uwagę przypadku gdy pkt H nie istnieje - jak pisałeś)? Zależy mi na tej odpowiedzi - żeby się jednoznacznie upewnić zanim zacznę wyprowadzać wzory - pewnie będą one niezwykle złożone. Właśnie zastanawiało mnie to - gdzieś miałem w świadomości, że jest takich prostych nieskończenie wiele - jednak dla wyprowadzenia wzorów tak jak wspomniałeś przyjąłem sobie poziomą prostą. Miałem wielkie obawy czy jeśli prostą tą pochyle czy model wciąż będzie rozwiązywalny. W rzeczywistości bardzo rzadko będzie w moim modelu zachodził taki przypadek, jednak tak jak wspomniałem zależało mi na wyprowadzeniu wzorów więc wybrałem prostą poziomą.
Podany przez Ciebie zapis matematyczny zapis symbolem \(\displaystyle{ \cap}\) "część wspólna zbioru" oznacza miejsce przecięcia np. prostych w danym punkcie, więc zapisem dla rozwiązania będzie układ równań dwóch prostych? Ostatecznie do rozwiązania całego zadania będzie wiele równań które w efekcie dadzą szukane współrzędne punktu H? tak?
Przepraszam timon92, że Cie tak zamęczam, jednak widzę, że masz bardzo dużo wiedzę której mnie brakuje i chciałbym w całości opisać zagadnienie.
Podany przez Ciebie zapis matematyczny zapis symbolem \(\displaystyle{ \cap}\) "część wspólna zbioru" oznacza miejsce przecięcia np. prostych w danym punkcie, więc zapisem dla rozwiązania będzie układ równań dwóch prostych? Ostatecznie do rozwiązania całego zadania będzie wiele równań które w efekcie dadzą szukane współrzędne punktu H? tak?
Przepraszam timon92, że Cie tak zamęczam, jednak widzę, że masz bardzo dużo wiedzę której mnie brakuje i chciałbym w całości opisać zagadnienie.
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
łamigłówka geometrii analitycznej
Jeżeli pochylimy tę prostą to punkt \(\displaystyle{ H}\) zmieni się. Tak naprawdę jak będziemy obkręcać tę prostą, to punkt \(\displaystyle{ H}\) będzie poruszał się po jakiejś hiperboli. Sytuacje w których punkt \(\displaystyle{ H}\) nie istnieje są dokładnie dwie - wtedy punkt \(\displaystyle{ H}\) "ucieka do nieskończoności", a punkty \(\displaystyle{ D,E,G}\) otrzymane za pomocą algorytmu wyjdą takie, że proste \(\displaystyle{ AD, BE, CG}\) są równoległe (ich hipotetyczny punkt przecięcia \(\displaystyle{ H}\) jest "nieskończenie daleko). Nawet sobie skonstruowałem wszystko w geogebrze żeby sprawdzić czy się nie pomyliłem nigdzie. . Poukrywałem niektóre rzeczy, bo nic nie było widać. Punktem \(\displaystyle{ X}\) manipulujesz nachylenie prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ F}\).
Masz rację, \(\displaystyle{ \cap}\) oznacza przecięcie zbiorów, zatem punkt będący przecięciem dwóch prostych spełnia równanie każdej z nich, a zatem jest rozwiązaniem układu dwóch równań.
Tych równań będzie sporo. Wyznaczenie równania krzywej stożkowej sprowadza się do rozwiązania układu pięciu równań liniowych, ale z tym nie powinno być wielkich problemów. Gorzej może być z ostatnim krokiem algorytmu, bo to sprowadza się do rozwiązania układu dwóch równań, które liniowe nie są.
Łatwiej chyba będzie eksportować dane do geogebry i wziąć współrzędne punktu \(\displaystyle{ H}\) stamtąd.
Masz rację, \(\displaystyle{ \cap}\) oznacza przecięcie zbiorów, zatem punkt będący przecięciem dwóch prostych spełnia równanie każdej z nich, a zatem jest rozwiązaniem układu dwóch równań.
Tych równań będzie sporo. Wyznaczenie równania krzywej stożkowej sprowadza się do rozwiązania układu pięciu równań liniowych, ale z tym nie powinno być wielkich problemów. Gorzej może być z ostatnim krokiem algorytmu, bo to sprowadza się do rozwiązania układu dwóch równań, które liniowe nie są.
Łatwiej chyba będzie eksportować dane do geogebry i wziąć współrzędne punktu \(\displaystyle{ H}\) stamtąd.
-
biker23
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 15 gru 2012, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: abc
- Podziękował: 1 raz
łamigłówka geometrii analitycznej
Prawdopodobnie mój rysunek jest błędny i/lub założenie w którymś momencie dla mojego modelu. Może jeśli przedstawię szerzej w jakim celu chcę obliczyć współrzędne punktu H - znajdziesz timon92 dla mnie rozwiązanie problemu.
Mianowicie wszystkie punkty to obraz "mapy" w układzie prostokątnym. Szukany punkt H to miejsce gdzie stał kiedyś jakiś fotograf (czy dokładniej miejsce ustawienia obiektywu). Po jakimś czasie (np. po 100 latach) chciałbym znaleźć to miejsce i również zrobić zdjęcie z tego samego miejsca (oczywiście w tolerancji sczytania współrzędnych z mapy i dokładności pomiaru danych na zdjęciu).
Najpierw robię print-screen widoku z satelity danego obszaru (np. google maps) którego mam pewność że zdjęcie zostało zrobione. Po wstępnej analizie terenu np w Street View lub bezpośredniej w terenie - porównuję dawną fotografię z teraźniejszymi elementami w obecnych czasach.
Załóżmy, że znalazłem 3 naroża budynku oraz jedną latarnię (w sumie 4 punkty: A, B, C, F) zarówno na dawnej fotografii jak i na mapie google maps. Następnie mierzę linijką na dawnej fotografii prostopadle do pionowych elementów budynku/latarni na dawnym zdjęciu odległość pomiędzy nimi i dokonuję odczytu jak najdokładniej w mm lub dziesiętnych częściach mm. Na tej podstawie łatwo oblicze stosunek pomiędzy poszczególnymi odcinkami.
Print-screen mojej mapy wrzucam do programu typu AutoCad i nadaję moim odnalezionym obiektom współrzędne (w układzie lokalnym). Będą to dane: współrzędne punktów A, B, C, F.
W praktyce dawne zdjęcie (czy też raczej klisza - którego późniejszym obrazem po wywołaniu jest fotografia) na które rzutowane są elementy terenu znajduje się bardzo blisko miejsca ustawiania obiektywu czyli blisko punktu H. Kliszy takiej wiadomo nie posiadam, a jedynie dawne zdjęcie. Jednak niestety nie znamy ani miejsca ustawienia obiektywu, ani miejsca gdzie teoretycznie znajdowało się nasze dawne zdjęcie w chwili zrobienia zdjęcia. Nie wiem czy mogę skorzystać z twierdzenia Talesa na mojej mapce - jeśli tak, to rzutuję moją dawną fotografię (czy też kliszę) do przecięcia z jednym ze znanych punktem w terenie - na rysunku u mnie jest to punkt F. Obrazem tego rzutowania na mapie są pomocnicze punkty D, E, F, G. Wiadomo odległości pomiędzy tymi punktami na kliszy i na mapie się bardzo zwielokrotniły, jednak co najważniejsze proporcje (jak sadzę) są zachowane, co jest kluczową sprawą.
Jeśli timon92 znajdziesz błąd w moim rozumowaniu podpowiedz proszę jak to rozwiązać.
Powyższe zagadnienie przeze mnie przedstawione dotyczy w pewnym sensie geotagowania zdjęć - jednak bez wykorzystania GPS-a jak ma to miejsce obecnie w cywilizowanych czasach. Nie znamy współrzędnych GPS gdyż fotograf dawniej GPS-a nie posiadał, a dysponujemy tylko dawną fotografią (na której możemy sobie zmierzyć wybrane elementy) i widok z satelity danego terenu (na którym także możemy sobie zmierzyć te same elementy). Najważniejszym celem dla mnie jest zrobienie zdjęcia w tym samym miejscu co dawniej inny fotograf - zaś geotagowanie zdjęcia jest efektem ubocznym - dla mnie mniej istotnym.
Prawdopodobnie można wprowadzić dodatkowe założenie, które usprawni obliczenia - jednak tylko przy założeniu, że zdjęcie po zrobieniu nie było kadrowane (nie został obcięty jeden z boków zdjęcia) wtedy na zdjęciu będzie można pomierzyć dodatkową wartość - środek zdjęcia w stosunku do punktów D, E, F, G , który z kolei będzie odpowiadał na mapie miejscu gdzie zaznaczyłem kąt prosty - nazwijmy go punktem Z (punkt Z leży na prostej EF).
Mianowicie wszystkie punkty to obraz "mapy" w układzie prostokątnym. Szukany punkt H to miejsce gdzie stał kiedyś jakiś fotograf (czy dokładniej miejsce ustawienia obiektywu). Po jakimś czasie (np. po 100 latach) chciałbym znaleźć to miejsce i również zrobić zdjęcie z tego samego miejsca (oczywiście w tolerancji sczytania współrzędnych z mapy i dokładności pomiaru danych na zdjęciu).
Najpierw robię print-screen widoku z satelity danego obszaru (np. google maps) którego mam pewność że zdjęcie zostało zrobione. Po wstępnej analizie terenu np w Street View lub bezpośredniej w terenie - porównuję dawną fotografię z teraźniejszymi elementami w obecnych czasach.
Załóżmy, że znalazłem 3 naroża budynku oraz jedną latarnię (w sumie 4 punkty: A, B, C, F) zarówno na dawnej fotografii jak i na mapie google maps. Następnie mierzę linijką na dawnej fotografii prostopadle do pionowych elementów budynku/latarni na dawnym zdjęciu odległość pomiędzy nimi i dokonuję odczytu jak najdokładniej w mm lub dziesiętnych częściach mm. Na tej podstawie łatwo oblicze stosunek pomiędzy poszczególnymi odcinkami.
Print-screen mojej mapy wrzucam do programu typu AutoCad i nadaję moim odnalezionym obiektom współrzędne (w układzie lokalnym). Będą to dane: współrzędne punktów A, B, C, F.
W praktyce dawne zdjęcie (czy też raczej klisza - którego późniejszym obrazem po wywołaniu jest fotografia) na które rzutowane są elementy terenu znajduje się bardzo blisko miejsca ustawiania obiektywu czyli blisko punktu H. Kliszy takiej wiadomo nie posiadam, a jedynie dawne zdjęcie. Jednak niestety nie znamy ani miejsca ustawienia obiektywu, ani miejsca gdzie teoretycznie znajdowało się nasze dawne zdjęcie w chwili zrobienia zdjęcia. Nie wiem czy mogę skorzystać z twierdzenia Talesa na mojej mapce - jeśli tak, to rzutuję moją dawną fotografię (czy też kliszę) do przecięcia z jednym ze znanych punktem w terenie - na rysunku u mnie jest to punkt F. Obrazem tego rzutowania na mapie są pomocnicze punkty D, E, F, G. Wiadomo odległości pomiędzy tymi punktami na kliszy i na mapie się bardzo zwielokrotniły, jednak co najważniejsze proporcje (jak sadzę) są zachowane, co jest kluczową sprawą.
Jeśli timon92 znajdziesz błąd w moim rozumowaniu podpowiedz proszę jak to rozwiązać.
Powyższe zagadnienie przeze mnie przedstawione dotyczy w pewnym sensie geotagowania zdjęć - jednak bez wykorzystania GPS-a jak ma to miejsce obecnie w cywilizowanych czasach. Nie znamy współrzędnych GPS gdyż fotograf dawniej GPS-a nie posiadał, a dysponujemy tylko dawną fotografią (na której możemy sobie zmierzyć wybrane elementy) i widok z satelity danego terenu (na którym także możemy sobie zmierzyć te same elementy). Najważniejszym celem dla mnie jest zrobienie zdjęcia w tym samym miejscu co dawniej inny fotograf - zaś geotagowanie zdjęcia jest efektem ubocznym - dla mnie mniej istotnym.
Prawdopodobnie można wprowadzić dodatkowe założenie, które usprawni obliczenia - jednak tylko przy założeniu, że zdjęcie po zrobieniu nie było kadrowane (nie został obcięty jeden z boków zdjęcia) wtedy na zdjęciu będzie można pomierzyć dodatkową wartość - środek zdjęcia w stosunku do punktów D, E, F, G , który z kolei będzie odpowiadał na mapie miejscu gdzie zaznaczyłem kąt prosty - nazwijmy go punktem Z (punkt Z leży na prostej EF).
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
łamigłówka geometrii analitycznej
znajomość środka zdjęcia wystarczałaby do obliczenia współrzędnych punktu \(\displaystyle{ H}\), ale to by się paskudnie liczyło i nawet nie wiem jak to zrobić
zamiast tego znajdź piąty charakterystyczny punkt na zdjęciu \(\displaystyle{ F'}\) (np. inną latarnię, inne naroże budynku, cokolwiek pionowego), zastosuj powyższy algorytm dla punktów \(\displaystyle{ A,B,C,F'}\) tak żeby dostać punkt \(\displaystyle{ H'}\), następnie znajdujesz stożkową \(\displaystyle{ \mathcal K}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A,B,C,F,H}\) i stożkową \(\displaystyle{ \mathcal K'}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A,B,C,F',H'}\). Te dwie stożkowe \(\displaystyle{ \mathcal{K,K'}}\) przecinają się w dokładnie czterech punktach: \(\displaystyle{ A,B,C}\) i jakimś czwartym \(\displaystyle{ U}\), który odpowiada miejscu ustawienia aparatu
zamiast tego znajdź piąty charakterystyczny punkt na zdjęciu \(\displaystyle{ F'}\) (np. inną latarnię, inne naroże budynku, cokolwiek pionowego), zastosuj powyższy algorytm dla punktów \(\displaystyle{ A,B,C,F'}\) tak żeby dostać punkt \(\displaystyle{ H'}\), następnie znajdujesz stożkową \(\displaystyle{ \mathcal K}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A,B,C,F,H}\) i stożkową \(\displaystyle{ \mathcal K'}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A,B,C,F',H'}\). Te dwie stożkowe \(\displaystyle{ \mathcal{K,K'}}\) przecinają się w dokładnie czterech punktach: \(\displaystyle{ A,B,C}\) i jakimś czwartym \(\displaystyle{ U}\), który odpowiada miejscu ustawienia aparatu
-
biker23
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 15 gru 2012, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: abc
- Podziękował: 1 raz
łamigłówka geometrii analitycznej
Dzięki timon92
No to mam teraz zajęcie na weekend:) Jak dobrze rozumiem przy zastosowaniu pięciu szczegółów terenowych - będzie można jednoznacznie wyznaczyć miejsce zrobienia zdjęcia bez wykorzystania punktu Z? niezależnie jak będziemy kręcić prosta zaczepioną w punkcie F? tak?
Niestety znalezienie piątego punktu może czasem być niemożliwe (czasem krajobraz ulega w czasie dużemu przeobrażeniu) - wtedy w ostateczności będzie trzeba wykorzystać punkt Z (środek zdjęcia) i mieć nadzieje że fotograf nie obciął którejś z krawędzi - no i wyprowadzić odpowiednie wzory...
P.S. już nie pamiętam jak rozwiązuje się hiperbolę. Kiedyś w technikum rozwiązywałem - ale nie wiem jak ułożyć takie równanie. Wtedy były gotowe równania do rozwiązania - teraz muszę je jakoś sam ułożyć - chyba, że timon92 podpowiesz co nieco. Z równaniami prostych nie będę miał najmniejszego problemu, pozdrawiam:)
No to mam teraz zajęcie na weekend:) Jak dobrze rozumiem przy zastosowaniu pięciu szczegółów terenowych - będzie można jednoznacznie wyznaczyć miejsce zrobienia zdjęcia bez wykorzystania punktu Z? niezależnie jak będziemy kręcić prosta zaczepioną w punkcie F? tak?
Niestety znalezienie piątego punktu może czasem być niemożliwe (czasem krajobraz ulega w czasie dużemu przeobrażeniu) - wtedy w ostateczności będzie trzeba wykorzystać punkt Z (środek zdjęcia) i mieć nadzieje że fotograf nie obciął którejś z krawędzi - no i wyprowadzić odpowiednie wzory...
P.S. już nie pamiętam jak rozwiązuje się hiperbolę. Kiedyś w technikum rozwiązywałem - ale nie wiem jak ułożyć takie równanie. Wtedy były gotowe równania do rozwiązania - teraz muszę je jakoś sam ułożyć - chyba, że timon92 podpowiesz co nieco. Z równaniami prostych nie będę miał najmniejszego problemu, pozdrawiam:)
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
łamigłówka geometrii analitycznej
Tak, pięć wystarczy
Jeżeli chodzi o znalezienie równania krzywej stożkowej, to jest ono postaci \(\displaystyle{ ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0}\). Żeby obliczyć współczynniki, należy wstawić tam po kolei \(\displaystyle{ (x,y)=(x_A,y_A),(x,y)=(x_B,y_B)}\) itd i dostanie się układ pięciu równań liniowych, a to się liczy łatwo.
Jak wcześniej pisałem problem może być ze znalezieniem przecięć dwóch stożkowych, bo to jest to samo co rozwiązywanie układu równań dwóch zmiennych stopnia drugiego. To nie jest tak łatwe jak równania liniowe. Takich cudaków nie umiem liczyć. Może ktoś inny coś poradzi.
Pozdrawiam i życzę powodzenia w implementacji algorytmu.
Jeżeli chodzi o znalezienie równania krzywej stożkowej, to jest ono postaci \(\displaystyle{ ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0}\). Żeby obliczyć współczynniki, należy wstawić tam po kolei \(\displaystyle{ (x,y)=(x_A,y_A),(x,y)=(x_B,y_B)}\) itd i dostanie się układ pięciu równań liniowych, a to się liczy łatwo.
Jak wcześniej pisałem problem może być ze znalezieniem przecięć dwóch stożkowych, bo to jest to samo co rozwiązywanie układu równań dwóch zmiennych stopnia drugiego. To nie jest tak łatwe jak równania liniowe. Takich cudaków nie umiem liczyć. Może ktoś inny coś poradzi.
Pozdrawiam i życzę powodzenia w implementacji algorytmu.