Rzut prostej na płaszczyznę

[Gouranga]

Zadanie dostałem takie:
Wyznacz rzut prostopadły prostej:
\(\displaystyle{ L: \left\{\begin{array}{1} x = 1 - t\\y = t\\z = 3 + t\end{array}}\)
na płaszczyznę o równaniu
\(\displaystyle{ x - y + z = 0}\)

Pomyślałem, żeby to zrobić analogicznie jak rzuty punktów na płaszczyzny chociaż nie wiem czy to dobry pomysł i czy dobrze zrobiłem obliczenia, mógłby ktoś sprawdzić?

\(\displaystyle{ x - y + z =0\\
\vec{n} = \left[\begin{array}{ccc} 1,&-1,&1\end{array}\right]\\
\\
K: \left\{\begin{array}{1} x = 1 - t + k\\y = t - k\\z = 3 + t + k\end{array}}\)
\(\displaystyle{ 1-t+k-(t-k)+3+t+k = 0\\
3k = -t-4\\
k = - \frac{t}{3} - \frac{4}{3}\\
\\
K: \left\{\begin{array}{1} x = 1 - t - \frac{t}{3} - \frac{4}{3}\\y = t + \frac{t}{3} + \frac{4}{3}\\z = 3 + t - \frac{t}{3} - \frac{4}{3}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ K: \left\{\begin{array}{1} x = - \frac{1}{3} - \frac{4}{3}t\\y = \frac{4}{3} + \frac{4}{3}t\\z = \frac{5}{3} + \frac{8}{3}t\end{array}}\)

[Luna777]

Nie do końca rozumiem o co chodzi w rozwiązaniu, ale skoro umiesz rzutować punkty na płaszczyznę można to zrobić tak:

Wiemy, że przez dwa dowolne i różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Poza tym rzutem prostej na płaszczyznę nieprostopadłą do niej jest prosta. Zatem wystarczy:

1)Wziąć dwa dowolne punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostej, którą mamy rzutować.
2)Wyliczyć rzuty tych punktów na płaszczyznę (to umiesz robić). Dostaniesz jakieś dwa punkty \(\displaystyle{ A_{1}}\) i \(\displaystyle{ B_{1}}\).
3)Poprowadzić prostą przez punkty \(\displaystyle{ A_{1}}\) i \(\displaystyle{ B_{1}}\). Prosta, którą otrzymasz to szukany rzut.

[Gouranga]

Takiego rozwiązania się domyśliłem, ale myślałem, że można to zrobić szybciej w ten sposób. Bo jak rzutuję punkt to odpowiednio do każdej współrzędnej dodaję jakąś wielkość k pomnożoną przez odpowiednią wartość z wektora normalnego. Myślałem, że tutaj też tak można.