Wyznaczyć środek i promień sfery o równaniu

mentor · Post autor: **mentor** » 19 cze 2013, o 17:09

Hej,

Mam takie zadanie:

Wyznacz środek i promień sfery o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+y+7z+4 \frac{1}{2} =0.}\)

Nie chodzi mi o rozwiązanie tego zadania, ale pokazanie, jak takie coś rozwiązać, krok po kroku. Chcę to umieć

Pozdrawiam

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 19 cze 2013, o 17:14

To tak jak z równaniem okręgu w geometrii analitycznej w dwóch wymiarach - korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia i "zwijasz" odpowiadające sobie wyrażenia.

mentor · Post autor: **mentor** » 19 cze 2013, o 17:17

Aha. Trochę mi się już rozjaśniło Po rozwiązaniu powinno mi zostać coś wg tego wzoru:

\(\displaystyle{ (x-a) ^{2} + (y-b) + (z-c) ^{2} = r ^{2}}\)

Tak? I odczytam punkty a, b i c, które będą środkiem sfery, a r będzie promieniem?

Dałby ktoś radę zrobić ten przykład z pierwszego postu?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 19 cze 2013, o 17:18

Dokładnie tak.
Zrób go sam, my sprawdzimy.

mentor · Post autor: **mentor** » 19 cze 2013, o 17:31

OK, mam nadzieję, że dobrze to rozumuję

\(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + 4 + (y+\frac{1}{2}) ^{2} + \frac{1}{4} + (z+\frac{7}{2}) ^{2} + \frac{49}{4} = 0}\)

Po przeniesieniu na drugą stronę równania, wyjdzie mi, że środek \(\displaystyle{ S=(2, -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})}\), a promień \(\displaystyle{ r=-16}\). Zgadza się?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 19 cze 2013, o 17:42

Środek dobrze, promień nie. Przecież nie może być ujemny.
Liczby za nawiasami należy odejmować, a nie dodawać (aby wyrównać do stanu początkowego). Poza tym zapomniałeś, że na początku było jeszcze \(\displaystyle{ 4\frac{1}{2}}\).

mentor · Post autor: **mentor** » 19 cze 2013, o 17:47

Ach, tak, przepraszam Promień będzie równy 13?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 19 cze 2013, o 18:00

Po prawej stronie powinno być \(\displaystyle{ 12}\). Zwróć uwagę, że to dopiero \(\displaystyle{ r^2}\), a nie \(\displaystyle{ r}\).

mentor · Post autor: **mentor** » 19 cze 2013, o 18:04

Spoko, czyli pierwiastek z 12. OK, dzięki

muchomorka · Post autor: **muchomorka** » 25 mar 2017, o 17:23

Mam bardzo podobny przykład, niestety nie umiem wyznaczyć r.
Nie rozumiem, co trzeba zrobić, żeby go uzyskać?

Punkt środkowy widzę na pierwszy rzut oka, jaki jest, a promień?
Skoro za nawiasami odejmuję takie liczby, aby wyrównać do stanu początkowego, zostaje mi co najwyżej 4,5... Skąd te 12 tu? Mógłby ktoś wyjaśnić/rozpisać?

Edit:
Już wiem. Zaćmienie mózgu...