Równanie płaszczyzny

[Fisher90]

Witam.
Do wyznaczenia równanie płaszczyzny.
Przechodzić ma ona przez pkt \(\displaystyle{ a=(1,3,-2)}\) i przecinać oś \(\displaystyle{ Oy}\).

Niby wszystko mam dane. Punkt i wektor normalny, którym będzie oś \(\displaystyle{ Oy}\). No właśnie, jaki jest wektor kierunkowy (równoległy do) osi \(\displaystyle{ Oy}\)?

[Hassgesang]

Dlaczego taki ma być wektor normalny? \(\displaystyle{ x+y+z=2}\) przechodzi przez podany punkt, przecina żądaną oś, ale jej wektor normalny jest trochę inny: \(\displaystyle{ w=[1,1,1]}\).

Ogólnie: jeżeli płaszczyzna przecina oś \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,t,0)}\), to jej równanie ma postać \(\displaystyle{ 2x +2p y +z(1+3p-pt) - 2 p t = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb R}\) jest parametrem.

[Fisher90]

Odpowiedź z podręcznika: \(\displaystyle{ 2x+z=0}\).
Ktoś wie, jak to zadanie ugryźć?

[Jan Kraszewski]

Czy ta płaszczyzna ma przecinać, czy zawierać oś \(\displaystyle{ Oy}\) ?

JK

[Fisher90]

Tak, jak napisałem w pierwszym poście. Płaszczyzna ma przecinać oś \(\displaystyle{ Oy}\).

[Qń]

Odpowiedź z podręcznika jest taka jakby chodziło o zawieranie.

W wersji z przecinaniem rozwiązań jest nieskończenie wiele, chyba że u Was na zajęciach jakoś niestandardowo rozumie się "przecinanie".

Q.

[Fisher90]

Dobra, to załóżmy, że płaszczyzna ma po prostu przez oś \(\displaystyle{ Oy}\) przechodzić. Jak w takim przypadku zabrać się za to zadanie?

[Qń]

Dobra, to załóżmy, że płaszczyzna ma po prostu przez oś \(\displaystyle{ Oy}\) przechodzić.

Przecinać i przechodzić to przecież to samo.

Rozwiązań jest wtedy nieskończenie wiele - pasują wszystkie płaszczyzny zawierające podany punkt z wyjątkiem tych równoległych do osi \(\displaystyle{ OY}\), ale niezawierających osi \(\displaystyle{ OY}\).

Q.

[Fisher90]

To ostatecznie załóżmy, że płaszczyzna ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ a=(1,3,-2)}\) i przez oś \(\displaystyle{ Oy}\). Zatem jak to zadanie miałbym rozwiązać?

[Qń]

Masz na myśli, że płaszczyzna ma zawierać oś \(\displaystyle{ OY}\), tak jak od razu Ci sugerowano?

Wtedy można skorzystać z faktu, że pęk płaszczyzn zawierających oś \(\displaystyle{ OY}\) ma równanie \(\displaystyle{ Ax+Bz=0}\) i wystarczy teraz znaleźć takie niejednocześnie równe zero \(\displaystyle{ A,B}\), żeby podany punkt spełniał to równanie.

Można też stwierdzić, że do płaszczyzny muszą należeć punkty \(\displaystyle{ (1,3,-2), (0,0,0),(0,1,0)}\), z czego wynika, że płaszczyzna jest rozpięta na wektorach \(\displaystyle{ [1,3-2]}\) i \(\displaystyle{ [0,1,0]}\). A zatem iloczyn wektorowy tych wektorów jest wektorem normalnym płaszczyzny.

Q.

[Fisher90]

Skorzystałem z drugiej porady (te 3 punkty) i wyszło
Tylko jeszcze mam jedno pytanie do tego zadania. Wziąłem sobie inny 3 punkt, który leży na osi y ==> (0, 5, 0).
Wyszło mi później równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ 10x+5z=0}\) i teraz to pytanie: czy jest to ta sama płaszczyzna, co \(\displaystyle{ 2x+z=0}\)? Wg mnie tak, bo przecież jak podzielę przez \(\displaystyle{ 5}\) równanie \(\displaystyle{ 10x+5z=0}\), to wyjdzie mi \(\displaystyle{ 2x+z=0}\). Wolę się jednak upewnić.

[Qń]

Oczywiście to dokładnie to samo.

Q.