Symetria względem prostej

[mat1989]

dane sa proste k: x-y+1=0 oraz l: x-2y+1=0
znajdz rownanie obrazu prostej l w symetrii wzgledem prostej k.

[wb]

Wybiorę dwa punkty leżące na prostej l, znajdę ich obrazy w symetrii względem prostej k, napiszę równanie prostej przechodzącej przez otrzymane obrazy - będzie to równanie szukanej prostej.

Jako A - pierwszy z wybranych punktów wybiorę punkt wspólny prostych k oraz l (będzie on jednocześnie swoim obrazem):
\(\displaystyle{ y=x+1 \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\ x=-1 \ \ , \ \ y=0 \\ A=A'=(-1;0)}\)

Jako drugi z punktów - B wybiorę np. \(\displaystyle{ B=(1;1)\in l}\)
Szukam B':
- równanie prostej prostopadłej do k przechodzącej przez B:
\(\displaystyle{ y=ax+b \\ y=-x+b \\ 1=-1+b \\ b=2 \\ y=-x+2}\)


- współrzędne punktu wspólnego prostej k oraz do niej prostopadłej:
\(\displaystyle{ y=x+1 \\ y=-x+2 \\ \\ y=\frac{3}{2} \ \ , \ \ x=\frac{1}{2}}\)


- współrzędne B'=(x;y) tak by punkt \(\displaystyle{ (\frac{1}{2};\frac{3}{2})}\) był środkiem odcinka BB':
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{2}=\frac{1}{2} \ \ , \ \ \frac{y+1}{2}=\frac{3}{2} \\ x=0 \ \ , \ \ y=2 \\ B'=(0;2)}\)

Równanie prostej przechodzącej przez A=A' oraz B' (szukane równanie):
\(\displaystyle{ y=ax+b \\ b=2 \\ y=ax+2 \\ 0=-a+2 \\ a=2 \\ \\ y=2x+2}\)