mam pytanie - skąd wzięła się rozbieżność wyników w zależności od metody rozwiązania:
mamy znaleźć rzut punktu \(\displaystyle{ A(4,-3,1)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi : x+2y-z-3=0}\).
metoda1) : odczytuję wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,2,-1]}\) - jest on jednocześnie wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l}\), przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
wyznaczamy równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ l:\begin{cases}x=4+t \\y=-3+2t\\z=1-t\end{cases}\quuad t\in\mathbb{R}.}\)
podstawiając teraz do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) za \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ z}\) wartości z równania prostej \(\displaystyle{ l}\) otrzymujemy wartość parametru \(\displaystyle{ t=1}\).
wstawiając teraz \(\displaystyle{ t=1}\) do równanaia prostej \(\displaystyle{ l}\) otrzymujemy szukany punkt
\(\displaystyle{ A'(5,-1,0)}\) - rzut punktu \(\displaystyle{ A}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\).
metoda2): wyznaczam odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) : \(\displaystyle{ d(A \pi ) =\frac{3}{\sqrt{6}}}\).
wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\): \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,2,-1]}\) - "jest skierowany w dół (za orientację góra-dół , nad-pod - przyjmuję zwrot osi \(\displaystyle{ Oz}\) )".
wstawiając współrzędne \(\displaystyle{ x,y}\) punktu \(\displaystyle{ A}\) do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) - wnioskuję że punkt \(\displaystyle{ A}\) leży nad płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
zatem szukanym rzutem \(\displaystyle{ A'}\) będzie obraz punktu \(\displaystyle{ A}\) w przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ \frac{1}{d(A,\pi )}\vec{n}=\left[\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{-\sqrt{6}}{3}\right]}\).
zatem współrzędne punktu \(\displaystyle{ A'}\) będą niewymierne
- proszę aby ktoś mi wyjaśnił czy metoda2) jest słusznym sposobem znalezienia takiego rzutu - a jeśli tak, to skąd pojawiła się rozbieżność wyników?
z góry dziękuję-- 2 cze 2013, o 08:52 --ok. - już wiem, źle policzyłem \(\displaystyle{ d(A, \pi )=\sqrt{6}}\)
oraz ponieważ \(\displaystyle{ |\vec{n}|=\sqrt{6}}\) zatem punkt \(\displaystyle{ A}\) musimy przesunąć o wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,2,-1]}\) i wtedy obraz \(\displaystyle{ A'}\) wyjdzie dokładnie tak samo jak uzyskaliśmy przy pierwszej metodzie.