Odległóść piedzy prostymi

[weramar6]

Oblicz odległość miedzy prostymi:
\(\displaystyle{ l_{1} : \begin{cases} 2x+y+z=2\\x+y+z=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l_{2} : \begin{cases} 2x+y+z=2\\x+y+z=6\end{cases}}\)

Patrząc na wektory kierunkowe wychodzi mi, że proste są równoległe, ale odległość wyszła mi zero. Nie wiem gdzie popełniam błąd. Z góry dzięki.

[Qń]

Nie wiem gdzie popełniam błąd.

Dopóki nie pokażesz swoich rachunków, nie dowie się tego też nikt inny.

Q.

[weramar6]

Obliczam wektor kierunkowy pierwszej prostej :
\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}=[2,1,1]}\) \(\displaystyle{ \vec{n_{2}}=[2,1,1]}\)

\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}}= [0,-1,1]= \vec{u}}\)

Dla drugiej prostej tak samo

\(\displaystyle{ \vec{v}=[0,-1,1]}\)

(pierwsza współrzędna jest równa zero- czy to oznacza, że nie możemy zapisać tej prostej w postaci kanonicznej?)

Szukam punktu należącego do pierwszej prostej: \(\displaystyle{ A=(-2,4,2)}\)
i do drugiej prostej \(\displaystyle{ B=(-4,8,2)}\)

Szukam płaszczyzny przechodzącej przez punkt A:

\(\displaystyle{ -y+z+D=0}\)

\(\displaystyle{ -4+2+D=0}\)

\(\displaystyle{ D=2}\)

szukam punktu przeciecia tej płaszczyzny z drugą prostą:

\(\displaystyle{ x=-2}\)

\(\displaystyle{ y=4+t}\)

\(\displaystyle{ z=2+t}\)

\(\displaystyle{ -4+t+2+t+2=0}\)

\(\displaystyle{ t=0}\)

\(\displaystyle{ P=(-2,4,2)}\)
Obliczam odległość \(\displaystyle{ d(l_{1},l_{2})=d(P,A)=0}\)
Jak dla mnie jest to sprzeczność bo proste są równoległe więc nie przecinają się, zatem muszą być sobie równe, czego nie widzę. Co jest złe w tym rozumowaniu?

[Qń]

szukam punktu przeciecia tej płaszczyzny z drugą prostą:
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=4+t}\)
\(\displaystyle{ z=2+t}\)

Przecież do drugiej prostej należy punkt \(\displaystyle{ B}\), a nie \(\displaystyle{ A}\). I wektor kierunkowy też przecież wyznaczyłaś inny niż \(\displaystyle{ [0,1,1]}\).

Q.

[weramar6]

Dziękuję za pomoc