Oblicz odległość miedzy prostymi:
\(\displaystyle{ l_{1} : \begin{cases} 2x+y+z=2\\x+y+z=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l_{2} : \begin{cases} 2x+y+z=2\\x+y+z=6\end{cases}}\)
Patrząc na wektory kierunkowe wychodzi mi, że proste są równoległe, ale odległość wyszła mi zero. Nie wiem gdzie popełniam błąd. Z góry dzięki.
Odległóść piedzy prostymi
Odległóść piedzy prostymi
Obliczam wektor kierunkowy pierwszej prostej :
\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}=[2,1,1]}\) \(\displaystyle{ \vec{n_{2}}=[2,1,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}}= [0,-1,1]= \vec{u}}\)
Dla drugiej prostej tak samo
\(\displaystyle{ \vec{v}=[0,-1,1]}\)
(pierwsza współrzędna jest równa zero- czy to oznacza, że nie możemy zapisać tej prostej w postaci kanonicznej?)
Szukam punktu należącego do pierwszej prostej: \(\displaystyle{ A=(-2,4,2)}\)
i do drugiej prostej \(\displaystyle{ B=(-4,8,2)}\)
Szukam płaszczyzny przechodzącej przez punkt A:
\(\displaystyle{ -y+z+D=0}\)
\(\displaystyle{ -4+2+D=0}\)
\(\displaystyle{ D=2}\)
szukam punktu przeciecia tej płaszczyzny z drugą prostą:
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=4+t}\)
\(\displaystyle{ z=2+t}\)
\(\displaystyle{ -4+t+2+t+2=0}\)
\(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ P=(-2,4,2)}\)
Obliczam odległość \(\displaystyle{ d(l_{1},l_{2})=d(P,A)=0}\)
Jak dla mnie jest to sprzeczność bo proste są równoległe więc nie przecinają się, zatem muszą być sobie równe, czego nie widzę. Co jest złe w tym rozumowaniu?
\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}=[2,1,1]}\) \(\displaystyle{ \vec{n_{2}}=[2,1,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}}= [0,-1,1]= \vec{u}}\)
Dla drugiej prostej tak samo
\(\displaystyle{ \vec{v}=[0,-1,1]}\)
(pierwsza współrzędna jest równa zero- czy to oznacza, że nie możemy zapisać tej prostej w postaci kanonicznej?)
Szukam punktu należącego do pierwszej prostej: \(\displaystyle{ A=(-2,4,2)}\)
i do drugiej prostej \(\displaystyle{ B=(-4,8,2)}\)
Szukam płaszczyzny przechodzącej przez punkt A:
\(\displaystyle{ -y+z+D=0}\)
\(\displaystyle{ -4+2+D=0}\)
\(\displaystyle{ D=2}\)
szukam punktu przeciecia tej płaszczyzny z drugą prostą:
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=4+t}\)
\(\displaystyle{ z=2+t}\)
\(\displaystyle{ -4+t+2+t+2=0}\)
\(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ P=(-2,4,2)}\)
Obliczam odległość \(\displaystyle{ d(l_{1},l_{2})=d(P,A)=0}\)
Jak dla mnie jest to sprzeczność bo proste są równoległe więc nie przecinają się, zatem muszą być sobie równe, czego nie widzę. Co jest złe w tym rozumowaniu?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Odległóść piedzy prostymi
Przecież do drugiej prostej należy punkt \(\displaystyle{ B}\), a nie \(\displaystyle{ A}\). I wektor kierunkowy też przecież wyznaczyłaś inny niż \(\displaystyle{ [0,1,1]}\).weramar6 pisze: szukam punktu przeciecia tej płaszczyzny z drugą prostą:
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=4+t}\)
\(\displaystyle{ z=2+t}\)
Q.