Wyznaczyć punkt C, aby wartość łamanej...

[Peter Zof]

Witam!

Mam takie zadanie:

Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(2,3)}\) i \(\displaystyle{ B=(5,4)}\). Na prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=5}\) wyznacz punkt \(\displaystyle{ C}\) tak, aby łamana \(\displaystyle{ ACB}\) miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

Nie mogę znaleźć żadnej drogi rozwiązania tego problemu. Wydaje mi się, że pewne kąty muszą być równe, ale dalej nic mi nie przychodzi do głowy. Bardzo proszę o pomoc!

[ares41]

Niech \(\displaystyle{ C(x,5)}\)
Długość łamanej dana jest zależnością \(\displaystyle{ l(x)= \sqrt{(x-2)^2+(5-3)^2} + \sqrt{(x-5)^2+(5-4)^2}}\)
Wystarczy znaleźć \(\displaystyle{ x}\) dla którego \(\displaystyle{ l}\) przyjmuje najmniejszą wartość.

[octahedron]

Odbijmy \(\displaystyle{ B}\) względem prostej \(\displaystyle{ y=5}\), otrzymamy \(\displaystyle{ B'=(5,6)}\). Z symetrii \(\displaystyle{ |BC|=|B'C|}\), więc \(\displaystyle{ |ABC|=|AB'C|}\). A łamana \(\displaystyle{ AB'C}\) będzie najkrótsza, gdy wszystkie punkty będą leżeć na jednej prostej, stąd \(\displaystyle{ C=(4,5)}\)