Płaszczyzna styczna do f(x,y) prostopadła do prostej

[scienceman]

Witam, mój problem jest następujący: znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
\(\displaystyle{ z = 1 + x^{2} + y^{2}}\)

i prostopadłej do prostej l:
\(\displaystyle{ 3x = 2y = z}\)

Wiadomo jest na to wzór, z analityczną częścią nie mam problemu, natomiast nie wiem jak zabrać się za 2 część zadania. Wydaje mi się, że wektor normalny prostej powinien być wektorem normalnym płaszczyzny wyjściowej, nie wiem jednak jak ugryźć równanie prostej żeby wyłuskać ten wektor, wychodzą błędne wyniki ;/

Poprawny wynik to:
\(\displaystyle{ z - \frac{157}{144} = -\frac{1}{3}(x + \frac{1}{6}) - \frac{1}{2}(y + \frac{1}{4})}\)

[kerajs]

zobacz wpierw 336249.htm

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\)

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x ^{2} +y ^{2} -z+1}\)

\(\displaystyle{ grad(f)=[2x;2y;-1]}\)

Wektor kierunkowy prostej l:
\(\displaystyle{ \vec{k} =[ \frac{1}{3} ; \frac{1}{2};1 ]}\)
lub wygodniej
\(\displaystyle{ \vec{k} =[ 2 ; 3; 6 ]}\)
i jest 0n równoległy do \(\displaystyle{ \vec{n}}\) płaszczyzny stycznej oraz \(\displaystyle{ \vec{n}=grad(f)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ t[2;3;6]=[2x;2y,-1]}\) ; t - współczynnik proporcjonalności.
Po rozwiązaniu powyższego równania mam punkt styczności \(\displaystyle{ P=( \frac{-1}{6} ; \frac{-1}{4} ;-1)}\)

Równanie płaszczyzny stycznej:
\(\displaystyle{ 2(x-\frac{-1}{6})+3(y-\frac{-1}{4})+6(z-(-1))=0}\)