Zbiór punktów na płaszczyźnie.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: W układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\), których współrzędne spełniają dane równanie: \(\displaystyle{ \left| \frac{x}{y} \right| + \left| \frac{y}{x} \right| =2}\)
Nie wiem za bardzo jak się pozbyć tej wartości bezwzględnej i jak rozpatrzyć przypadki. Proszę i wskazówki i pozdrawiam.

[janusz47]

Proponuję obie strony równania podnieść do kwadratu.

[Vether]

Nie ma sensu. Można zauważyć ciekawy fakt:

\(\displaystyle{ \left| \frac{x}{y} \right|+\left| \frac{y}{x} \right|= \frac{\left| x\right| }{\left| y\right| }+ \frac{\left| y\right| }{\left| x\right| }}\)

Wniosek: Rozważyć pierwszą ćwiartkę i odbić.

Pozdrawiam,
Vether

[dawid.barracuda]

Dlaczego tak? Ja tu widzę, że 1 = 1.

[kropka+]

Pomnóż obie strony równania przez \(\displaystyle{ \left| x\right|\left| y\right|}\) a potem skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

[dawid.barracuda]

Już są jakieś znajome formy Wychodzi \(\displaystyle{ x^2 - 2 \left| xy\right| + y^2 = 0}\) Przy kwadratach wartości bezwzględne mogę usunąć, bo to nigdy nie będzie ujemne. Jak teraz ten środek wpływa mi na całość?

[kropka+]

Przecież dostajesz

\(\displaystyle{ (\left| x\right|-\left| y\right|) ^{2}=0}\)

a stąd wynika \(\displaystyle{ \left| x\right|=\left| y\right|}\)

Pamiętaj o dziedzinie.

[Vether]

PS:

Ukryta treść:    

Dlaczego tak? Ja tu widzę, że 1 = 1.

\(\displaystyle{ \left| \frac{x}{y} \right|+\left| \frac{y}{x} \right|= \frac{\left| x\right| }{\left| y\right| }+ \frac{\left| y\right| }{\left| x\right| }}\)

Bo to jest tożsamość... Teraz możemy łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ -x}\) wyrażenie ma taką samą wartość co dla \(\displaystyle{ x}\), co oznacza, że wykres będzie symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\). To samo z osią \(\displaystyle{ OX}\), więc wystarczy rozważyć jedną ćwiartkę i odbić na pozostałe ćwiartki.


\(\displaystyle{ x^2-2\left| xy\right|+y^2=0}\)

\(\displaystyle{ x^2-2\left| x\right| \cdot \left| y\right|+y^2=0}\)


Na podstawie:

\(\displaystyle{ \left| x\right| =\left| -x\right|}\)

Dochodzimy do wyżej wyciągniętego wniosku, że wystarczy rozważyć jedną ćwiartkę i odbić... Zaraz się z resztą o tym przekonasz;)

[dawid.barracuda]

To już widzę Będą po prostu dwie liniówki o równaniach \(\displaystyle{ y = x}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\) z dziurą w środku układu współrzędnych?

[kropka+]

Tak

[dawid.barracuda]

Okej, dzięki za pomoc

[janusz47]

Jest sens podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left( \left|\frac{x}{y}\right| + \left|\frac{y}{x}\right| \right)^2 = 4}\)
................................................................................................................
\(\displaystyle{ \left(x^{2} - y^{2}\right)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-y^{2})=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ (y=x \vee y=-x)\wedge ((x,y)\neq (0,0))}\)