Znajdź punkt symetryczny do punktu

[arus2]

Proszę o rozwiązanie poniższego przykładu.

Znajdź punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A=(7,-2,4)}\)
względem płaszczyzny \(\displaystyle{ 3x-3y+z-12=0}\)

[Ser Cubus]

znajdź wektor normalny do powierzchni (banalne) i okazuje się, że jest on równoległy do prostej prostopadłej, przechodzącej przez pkt A. Policz odległość pkt A od płaszczyzny i odbij to w drugą stronę wzdłuż prostej która zawiera się w wektroze normalnym do płaszczyzny

[arus2]

znajdź wektor normalny do powierzchni (banalne) i okazuje się, że jest on równoległy do prostej prostopadłej, przechodzącej przez pkt A. Policz odległość pkt A od płaszczyzny i odbij to w drugą stronę wzdłuż prostej która zawiera się w wektroze normalnym do płaszczyzny

wektor normalny to \(\displaystyle{ n=[3,-3,1]}\)

tylko nie wiem jak wykazać, że wektor normalny jest równoległy do prostej prostopadłej przechodzącej przez pkt.A

odległość punktu A od płaszczyzny

\(\displaystyle{ d(P, \pi )= \frac{\left| 3 \cdot 7-3 \cdot (-2)+4 \cdot 1-12\right| }{ \sqrt{ 3^{2}+ (-3)^{2}+ 1^{2} } }= \frac{19}{ \sqrt{19} }= \sqrt{19}}\)

czyli odległość punktu A do punktu symetrycznego \(\displaystyle{ 2 \sqrt{19}}\)

Znam odległość od punktu A do punktu symetrycznego, ale nie wiem jak wyznaczyć współrzędne tego punktu symetrycznego.

[Ser Cubus]

[

wektor normalny to \(\displaystyle{ n=[3,-3,1]}\)

tylko nie wiem jak wykazać, że wektor normalny jest równoległy do prostej prostopadłej przechodzącej przez pkt.A

porównaj wzory ogólne na płaszyczyznę i prostą


wracając do tematu, jedną z możliwości rozwiązania jest, np wyznaczenie równania prostej i jej pkt wspólnego płaszczyzną, pkt \(\displaystyle{ S}\)

dalej można by policzyć wektor\(\displaystyle{ \vec{AS}}\) i zauważyć, że jet on równy \(\displaystyle{ \vec{SA'}, tzn S + \vec{SA'} = A'}\)

[arus2]

Wyszło mi \(\displaystyle{ A'(1,4,2)}\)

Proszę o sprawdzenie czy mam dobry wynik.