Długość łuku na sferze.

[Edward D]

Jak wyznaczyć odległość między dwoma punktami na powierzchni sfery? Powiedzmy, że wprowadzam układ sferyczny taki, że \(\displaystyle{ \theta}\) to kąt mierzony od osi \(\displaystyle{ z}\) do rzutu punktu na płaszczyznę \(\displaystyle{ zy}\), a \(\displaystyle{ \phi}\) to kąt mierzony od osi \(\displaystyle{ x}\) do osi \(\displaystyle{ z}\). Sfera ma promień \(\displaystyle{ R}\). Dwa punkty na sferze mają współrzędne:

\(\displaystyle{ \vec{P_1} : (r \sin \theta_1 \cos \phi_1,r \sin \theta_1 \sin \phi_1, r \cos \theta_1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{P_2} : (r \sin \theta_2 \cos \phi_2,r \sin \theta_2 \sin \phi_2, r \cos \theta_2)}\)

Długość łuku to będzie \(\displaystyle{ R \alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt środkowy między wektorami \(\displaystyle{ \vec{P_1}, \vec{P_2}}\). Czy wobec tego można powiedzieć, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\vec{P_1} \cdot \vec{P_2}}{|\vec{P_1}||\vec{P_2}|} = \sin \theta_1 \sin \theta_2 \left( \cos \phi_1 \cos \phi_2 + \sin \phi_1 \sin \phi_2 \right) + \cos \theta_1 \cos \theta_2}\)
\(\displaystyle{ = \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos (\phi_1 - \phi_2) + \cos \theta_1 \cos \theta_2}\)

\(\displaystyle{ L = R \arccos \left[ \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos (\phi_1 - \phi_2) + \cos \theta_1 \cos \theta_2\right]}\)

Czy to daje jednoznacznie wyznaczony kąt?

[Msciwoj]

Jaki jest zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \arccos}\)? \(\displaystyle{ \left\langle 0;\pi \right\rangle}\). Oznacza to, że dostaniesz jakiś jednoznacznie wyznaczony kąt z tego przedziału. Ale przecież kąt może być większy od \(\displaystyle{ \pi}\)! Nie, nie może. W takim przypadku ta druga odległość, odpowiadająca mniejszemu kątowi, jest mniejsza, więc wszystko się zgadza.

Ta metoda jest moim zdaniem poprawna.