figura - współrzędne prostokątne zamienić na biegunowe

[sea_of_tears]

Figurę określoną we współrzędnych prostokątnych określić za pomocą współrzędnych biegunowych.

\(\displaystyle{ y^2 = 2x +1}\)

z wyjaśnieniem bym prosiła

[cosinus90]

Ja bym najzwyczajniej w świecie podstawił
\(\displaystyle{ x = r\cos t}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin t}\)

[sea_of_tears]

Ja bym najzwyczajniej w świecie podstawił
\(\displaystyle{ x = r\cos t}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin t}\)

a jak zmienia się r i t? to zadanie dla mojej siostry, a oni potrzebują to do całek podwójnych...

[cosinus90]

Moim zdaniem należy to zrobić następująco :

Przekształćmy równanie paraboli w układzie OYX
\(\displaystyle{ x = \frac{y^2}{2} - \frac{1}{2}}\)
Teraz ogniskiem tej paraboli jest punkt
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2}, \frac{p}{4}\right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest współczynnikiem stojącym przy \(\displaystyle{ y^2}\).

Wówczas postać parametryczna paraboli będzie następująca :
\(\displaystyle{ r = \frac{p}{1+\cos t}}\)
Skoro jesteśmy w I i IV ćwiartce układu kartezjańskiego, to \(\displaystyle{ t \in \left\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle}\). Z poprzedniego wzoru można uzyskać zakres zmienności promienia.

[malykujonek]

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd wzięła się ta postać parametryczna paraboli? Proszę o pomoc.