znleźć punkt symetryczny względem prostej

[sdamian]

Witam, prosiłbym o "nakierowanie" jak zabrać się do znalezienia punktu symetrycznego \(\displaystyle{ P_S}\) do punktu \(\displaystyle{ P(3,0,1)}\) względem prostej \(\displaystyle{ l: \quad \frac{x-5}{2}=y+1=\frac{z+2}{3}.}\)

Z treści można odczytać:
\(\displaystyle{ P_0 (5,-1,-2)}\) - punkt leżący na prostej \(\displaystyle{ l,}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}=[2,1,3]}\) - wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l.}\)

Rozrysowałem sobie sytuację i widać, że należało by znaleźć prostą \(\displaystyle{ k,}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P(3,0,1),}\) która przecina prostą \(\displaystyle{ l}\) pod kątem prostym, znaleźć ten punkt przecięcia \(\displaystyle{ P_P}\) , wówczas punkt \(\displaystyle{ P_S}\) otrzymamy poprzez przesunięcie punktu \(\displaystyle{ P_P}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{PP_P}}\). Czyli teoretycznie wiem co należy po kolei zrobić, tylko prosiłbym o PODPOWIEDŹ - jak znaleźć prostą \(\displaystyle{ k}\) i punkt przecięcia \(\displaystyle{ P_P ?}\)

[lackiluck1]

Łatwiej znaleźć płaszczyznę prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ P}\) a następnie punkt przecięcia \(\displaystyle{ P_P}\)
Płaszczyzna: \(\displaystyle{ 2x + y + 3z + D = 0}\)
\(\displaystyle{ D}\) wyznaczamy z warunku, że płaszczyzna przechodzi przez \(\displaystyle{ P}\)
Można napisać układ równań z którego wyliczymy \(\displaystyle{ P_P}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 3z + D = 0\\\frac{x-5}{2}=y+1\\y+1=\frac{z+2}{3} \end{array}}\)
Mając \(\displaystyle{ P_P}\) łatwo już można policzyć \(\displaystyle{ P_S}\)