równanie boku, wysokość i pole trójkąta

[monika1806]

Czy ktoś wytłumaczy jak to się robi w tej przestrzeni? w przestrzeni dwuwymiarowej to proste, ale..
Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(2,3,-1), B=(1,0,3), C=(0,1,1)}\)
a] napisać równania parametryczne prostej zawierającej bok \(\displaystyle{ BC}\) tego trójkąta
b] znaleźć długość wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\)
c] obliczyć pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

[janusz47]

a) Znajdujemy współrzędne wektora równoległego do prostej \(\displaystyle{ BC}\)
\(\displaystyle{ \vec{BC}=\left[0-1, 1-0, 1-3\right]=\left[-1, 1, -2 \right].}\)
Równanie prostej
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{-1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-3}{-2}}\)
Równanie parametryczne prostej:
\(\displaystyle{ x=1 -t, y = 0 + t, z=3 -2t, \ t\in R}\)

b) Znajdujemy równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ BC}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ \pi:-1(x-2)+1(y - 3)-2(z+1) =0,}\)
\(\displaystyle{ \pi: -x +y -2z = 0}\)
Znajdujemy współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) "przebicia" \(\displaystyle{ BC}\) płaszczyzny\(\displaystyle{ \pi.}\)
prostą \(\displaystyle{ BC}\)
\(\displaystyle{ -1+t +t -6 +4t =0, t=\frac{7}{6}.}\)
\(\displaystyle{ x_{D}= 1 -\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}, y_{D}=\frac{7}{6}, z_{D}=3-\frac{14}{6}=\frac{4}{6}}\)
Długość wysokości \(\displaystyle{ AD}\) trójkata
\(\displaystyle{ |AD|= \sqrt{(2+\frac{1}{6})^{2}+(3-\frac{7}{6})^{2}+(-1-\frac{4}{6})^{2}}=\frac{\sqrt{390}}{6}.}\)

c) Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|}\)