Równanie płaszczyzny
-
pula
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 15 lis 2008, o 12:47
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Równanie płaszczyzny
Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P_1=(0,0,1), P_2=(3,0,0)}\) i tworzącej z płaszczyzną \(\displaystyle{ Oxy}\) kąt \(\displaystyle{ 60^o}\)
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2013, o 12:13 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a (indeksy dolne). Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a (indeksy dolne). Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Równanie płaszczyzny
Szukamy równania płaszczyzny postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) dla pewnych współczynników \(\displaystyle{ A,B,C,D\in\RR}\) nieznikających jednocześnie.
Płaszczyzna \(\displaystyle{ Oxy}\) jest opisana równaniem \(\displaystyle{ z=0}\).
Skoro kąt między płaszczyznami ma miarę \(\displaystyle{ 60^o}\), to kąt między ich wektorami normalnymi ma miarę \(\displaystyle{ 180^o-60^o=120^o}\). Zatem na podstawie definicji iloczynu skalarnego mamy \(\displaystyle{ A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot 1=(A,B,C)\circ (0,0,1)=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\cos 120^o\iff C=-\frac{1}{2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\implies 4C^2=A^2+B^2+C^2}\), tj.
Płaszczyzna \(\displaystyle{ Oxy}\) jest opisana równaniem \(\displaystyle{ z=0}\).
Skoro kąt między płaszczyznami ma miarę \(\displaystyle{ 60^o}\), to kąt między ich wektorami normalnymi ma miarę \(\displaystyle{ 180^o-60^o=120^o}\). Zatem na podstawie definicji iloczynu skalarnego mamy \(\displaystyle{ A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot 1=(A,B,C)\circ (0,0,1)=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\cos 120^o\iff C=-\frac{1}{2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\implies 4C^2=A^2+B^2+C^2}\), tj.
\(\displaystyle{ A^2+B^2=3C^2}\).
Skoro \(\displaystyle{ P_1, P_2}\) leżą na płaszczyźnie, to \(\displaystyle{ C+D=0}\)
oraz \(\displaystyle{ 3A+D=0}\).
Należy rozwiązać teraz układ otrzymanych trzech równań ograniczając się do przypadku \(\displaystyle{ A=0}\) (który jak łatwo sprawdzić prowadzi do sprzeczności z określeniem współczynników) lub \(\displaystyle{ A=1}\) (jeśli bowiem \(\displaystyle{ A\ne 0}\), to dzieląc równanie płaszczyzny stronami przez \(\displaystyle{ A}\) otrzymujemy równanie opisujące tę samą płaszczyznę, tyle że współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)).