zadania z punktaki i prosta. Wyznaczenie 3 punktu

joogurcik · Post autor: **joogurcik** » 5 kwie 2013, o 22:44

Dana jest prosta o równaniu \(\displaystyle{ y=3}\) i punkty \(\displaystyle{ A=(4,8}\)) oraz \(\displaystyle{ B=(6,12)}\). Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) należącego do prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=3}\) tak, aby długość łamanej \(\displaystyle{ ABC}\) była najmniejsza.

zaczęłam to robić że po prostu za \(\displaystyle{ C = (x,3)}\) i teraz liczyłam odległosc punktu \(\displaystyle{ A}\) od \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) od \(\displaystyle{ C}\) ze wzoru z tymi pierwiastkami. Jednak nie wiem czy to jest dobra droga bo dalej wymyśliłam sobie jak jak to \(\displaystyle{ AC + BC = 0}\) to mi wyjdzie ładna funkcja kwadratowa z której w wierzchołku jest najmniejsza wartość która wynosi \(\displaystyle{ 5}\)
ale jak wstawiam sobie przykładowe punkty \(\displaystyle{ C}\) np \(\displaystyle{ C=(5,3)}\) a np \(\displaystyle{ (4,5 , 3)}\) to to drugie wychodzi mniejsze wiec cos nie tak
prosze o wskazówki

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 22:49

Odbij symetrycznie punkt \(\displaystyle{ B}\) względem danej prostej. Teraz minimalizujesz \(\displaystyle{ ACB'}\) czyli \(\displaystyle{ C}\) musi być na odcinku \(\displaystyle{ AB'}\)
taka sprytna sztuczka

joogurcik · Post autor: **joogurcik** » 5 kwie 2013, o 22:57

minimalizujesz?

rozumiem to ze ma byc odbite wzgledem tej prostej czyli \(\displaystyle{ B_2=(6,-6)}\)?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 23:00

Używając słów z zadania: wyznaczasz punkt \(\displaystyle{ C}\), by długość łamanej \(\displaystyle{ A-C-B'}\) była najmniejsza

Tak, \(\displaystyle{ (6,-6)}\)
Ogólnie chodzi o to że po takim odbiciu (niezależnie od \(\displaystyle{ C}\)), długości \(\displaystyle{ A-C-B}\) i \(\displaystyle{ A-C-B'}\) są takie same

joogurcik · Post autor: **joogurcik** » 5 kwie 2013, o 23:04

nadal niestety nie rozumiem.
ten punkt b odbiłam względem tej prostej i no wyszła prosta i \(\displaystyle{ C}\) wychodzi tak miedzy \(\displaystyle{ 4,5}\) a \(\displaystyle{ 5}\)

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 23:06

nie za bardzo rozumiem słowa "wyszła prosta". W sensie narysowałaś prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B'}\) ?
Jeśli tak to pozostaje Ci znaleźć punkt przecięcia tej prostej z danej w zadaniu \(\displaystyle{ y=3}\)

rzeczywiście ma wyjść w okolicach \(\displaystyle{ (5,3)}\) ten punkt. Ale trzeba to policzyć dokładnie

joogurcik · Post autor: **joogurcik** » 5 kwie 2013, o 23:07

i teraz po prstu sobie zrobić tak jak ja mam wyżej te \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC= AC + B_2C}\)?
ze wzoru tego z pierwiastkiem ?

-- 6 kwi 2013, o 00:09 --

A skad wiedziałeś ze należny odbić ten punt \(\displaystyle{ B}\)?
da sie to obliczyć bez tego/

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 23:10

Zawsze zachodzi \(\displaystyle{ AC+BC=AC+BC'}\) bo odbicie symetryczne odcinka nie zmienia jego długości.
Nie musisz używać wzoru z pierwiastkiem. Masz tylko znaleźć prostą \(\displaystyle{ AB}\) i jej przecięcie z tą daną w zadaniu

Da się obliczyć bez tego, ale ta suma długości nie będzie funkcją kwadratową. Także minimum trzeba by liczyć z pochodnej.
Skąd wiedziałem? No akurat takie zadanie można zrobić właśnie na 2 sposoby - z pochodnymi albo z odbiciem punktu względem prostej.

joogurcik · Post autor: **joogurcik** » 5 kwie 2013, o 23:10

no mi sie podoba ten pomysł z tym ze wyznaczę prostą \(\displaystyle{ AB'}\) i punkt wspólny z ta prosta i prosta \(\displaystyle{ y=3}\)

-- 6 kwi 2013, o 00:18 --

no niestety pochodnych nie znam wiec musze tak dziekuje bardzo .
czy wyznaczyć prostą \(\displaystyle{ AB'}\) i potem punkt wspólny z prosta \(\displaystyle{ y=3}\), tak?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 23:19

właśnie tak. A znaczek "prim" powinnaś znaleźć na klawiaturze gdzieś przy cudzysłowie

joogurcik · Post autor: **joogurcik** » 5 kwie 2013, o 23:22

czy wyszło \(\displaystyle{ \frac{33}{7}}\) ?

-- 6 kwi 2013, o 00:24 --

hahahha no właśnie sie zastanawiałam jak prim sie pisało! myślałam ze z tego LaTeX-a! jaka wtopa dzięki )

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 23:33

Tak, \(\displaystyle{ ( \frac{33}{7},3 )}\)
Jeszcze taka kolejna już opcjonalna sztuczka. Nie trzeba liczyć wzoru prostej \(\displaystyle{ AB'}\) (choć to proste w sumie). Można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ A=(4,8) \\ B=(6,-6) \\ C=(x,3)}\)
Z podobieństwa trójkątów / Talesa / proporcji:
\(\displaystyle{ \frac{x-4}{6-4}= \frac{3-8}{-6-8}}\)
a stąd od razu mamy wynik