równania stycznych i rownanie okregu, parametr m

[sassetkaaa]

1. Wyznacz równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2}-6x+y ^{2}-2y+5=0}\):
a)przechodzących przez początek układu współrzędnych,
b)równoległych do prostej \(\displaystyle{ x-2y=0}\),
c) prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ 4x+2y=1}\).

2. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) jeśli \(\displaystyle{ A(-6,1) B(3,-2) C(2,5)}\).

w tym podstawiam pod równanie okręgu \(\displaystyle{ (x-a) ^{2}+(y-b) ^{2}=r ^{2}}\) każdy z tych punktów, robie układ równań i nie wiem czy źle to robie, czy myle się w obliczeniach, ale nie wychodzi mi w ogóle wynik...

3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) prosta \(\displaystyle{ y=mx-m-2}\) ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostokątem \(\displaystyle{ ABCD}\), jeżeli \(\displaystyle{ A(0,0) B(1,0) C(1,2) D(0,2)}\)?

[lesmate]

drugie robisz dobrze, tylko sprawdź obliczenia, ewentualnie zaproponuje
1. znajdź punkt równo oddalony od ABC wykorzystując odległość i masz środek,
a odległośc \(\displaystyle{ SA}\) masz \(\displaystyle{ r}\)
albo
2. znajdź równania dwóch symetralnych boków
i punkt przecięcia, to środek promień jak wyżej

[loitzl9006]

Pierwsze zadanie, podpunkt a) - szukane styczne są postaci \(\displaystyle{ y=ax}\) (skoro mają przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (0;0)}\) ). Podstawiamy \(\displaystyle{ y=ax}\) do równania okręgu \(\displaystyle{ x ^{2}-6x+y ^{2}-2y+5=0}\). Dostajemy w ten sposób równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrem \(\displaystyle{ a}\).
Zauważ, że tak naprawdę rozwiązujemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}-6x+y ^{2}-2y+5=0 \\ y=ax \end{cases}}\)
mamy dwie linie : jedną stanowi okrąg, a drugą - prosta - skoro prosta ma być styczną, to musi być dokładnie jeden punkt wspólny. A jeden punkt wspólny będzie tylko wtedy, gdy w równaniu kwadratowym z parametrem \(\displaystyle{ a}\) będzie zachodzić warunek \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Zatem trzeba policzyć deltę w zależności od \(\displaystyle{ a}\), a potem przyrównać tą deltę do zera - wyjdzie równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ a}\), powinny z niego wyjść dwie wartości \(\displaystyle{ a}\) - czyli dwie styczne.

Podpunkt b) - tutaj równanie stycznej to \(\displaystyle{ y=\frac12x+b}\) - to wiemy z waruneku równoległości prostych. Schemat taki sam - podstawiasz \(\displaystyle{ y=\frac12x+b}\) do równania okręgu i \(\displaystyle{ \Delta=0}\). c) podobnie.

[sassetkaaa]

To 1 już rozumiem.
Jeśli chodzi o drugie, to coś robie źle, bo a i b wychodzą mi w ułamku, a powinny być to liczby całkowite;/
a 3 to juz w ogole nie rozumiem...

[loitzl9006]

Pokaż obliczenia - poszukamy błędu.

Co do zadania nr 3, to narysuj sobie dany prostokąt w układzie współrzędnych, i do tego jakąś funkcję liniową (niech jej wykres przecina prostokąt).
Aby spełnione były warunki zadania, to wartość funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\), albo wartość funkcji dla \(\displaystyle{ x=1}\) musi być liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\)
Zatem musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y(0)\ge 0 \\ y(0)\le 2 \end{cases}\ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \begin{cases} y(1)\ge 0 \\ y(1)\le 2 \end{cases}}\)

[sassetkaaa]

\(\displaystyle{ (-6-a) ^{2}+(1-b) ^{2}=r ^{2},

(3-a) ^{2}+(-2-b) ^{2}=r ^{2}

(2-a) ^{2} +(5-b) ^{2}=r ^{2}}\)


\(\displaystyle{ a ^{2}+12a+b ^{2}-2b+37=r ^{2}

a^{2}-6a+b^{2}-4b+13=r^{2}

a^{2}-4a+b^{2}-10b+29=r^{2}}\)

odejmuje trzecie rownanie od drugiego:
\(\displaystyle{ a=3b-8}\)
podstawiam do pierwszego i drugiego
\(\displaystyle{ 10b^{2}-14b+5=r^{2}

10b^{2}-70b+125=r^{2}}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{15}{7}}\)
\(\displaystyle{ a=- \frac{11}{7}}\)

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ a^{2}-6a+b^{2}\red - \black 4b+13=r^{2}}\)

\(\displaystyle{ +4b}\) ma być.

[sassetkaaa]

szukałam błedu z dziesiatki razy i nie potrafiłam się dopatrzec, dzieki wielkie:)