Wyznaczenie punktu, który stworzy trójkąt o danym polu

[marek252]

Witam.
Mam takie zadanie. Punkty: \(\displaystyle{ A=(-1,4), B=(5,-3)}\), prosta \(\displaystyle{ l:y=-2x+1}\). Trzeba wyznaczyć współrzędne punktu C, leżącego na prostej l, aby pole trójkąta ABC wynosiło 6. No i pytanie jak to zrobić. Jakieś wskazówki?
Pozdrawiam

[lemoid]

Takie zadania fajnie się liczy za pomocą macierzy, warto to sobie przyswoić.
\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
Ax&Ay&1\\
Bx&By&1\\
Cx&Cy&1
\end{array}\right]}\)
Za \(\displaystyle{ Cx}\) podstawiamy \(\displaystyle{ x}\) a za \(\displaystyle{ Cy}\) podstawiamy \(\displaystyle{ -2x+1}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
-1x&4&1\\
5&-3&1\\
x&-2x+1&1
\end{array}\right]}\)
Macierz rozwiązujemy za pomocą metody Sarrusa i podstawiamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\left| wyznacznikMacierzy\right| = PoleTrojkata}\)
Pozdrawiam

[marek252]

Czy w pierwszej macierzy nie powinno być \(\displaystyle{ Ay}\) zamiast \(\displaystyle{ Ab}\)? Nie miałem tego jeszcze, muszę poczytać, ale mam pytanie. Pisząc "takie zadania" co konkretnie masz na myśli. W jakiego typu zadaniach stosujemy macierze, kiedy są one pomocne (niedługo matura, więc może warto coś takiego sobie poczytać)? Musi (tak sądzę) istnieć jakiś inny sposób, na poziomie 3 LO na rozwiązanie zadania. Jeśli ktoś ma inne propozycje to słucham.

[lemoid]

Czy w pierwszej macierzy nie powinno być \(\displaystyle{ Ay}\) zamiast \(\displaystyle{ Ab}\)?.

Tak


Pisząc "takie zadania" mam na myśli zadania z wierzchołkami i polem trójkąta(a także z punktami współliniowymi), które czasem się przewijają przez wszelkiego rodzaju arkusze. Liczenie za pomocą macierzy po prostu oszczędza dużo rachunków.

"Szkolnym" rozwiązaniem może być:
Wyznaczmy długośc odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\) i oznaczmy jako \(\displaystyle{ a}\). Pole będziemy liczyć z \(\displaystyle{ P=\frac{ah}{2}}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ Pole=6}\), \(\displaystyle{ a}\) to długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\), więc wiemy ile wynosi h.

Wiemy, że odległość punktu \(\displaystyle{ C=(x,-2x+1)}\) od prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to \(\displaystyle{ h}\), czyli korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Dalej już łatwo.