długości przekątnych równoległoboku (iloczyn skalarny)

[trzebiec]

Obliczyć długości przekątnych równoległoboku, zbudowanego na wektorach
\(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{m} +2 \vec{n}}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = -2\vec{m} +3 \vec{n}}\)

jeżeli \(\displaystyle{ \left| \vec{m} \right| =1 \left| \vec{n}\right| =2}\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) pomiędzy \(\displaystyle{ \vec{m}}\) a \(\displaystyle{ \vec{n} = \frac{\pi }{3}}\)

Ile mają wynosić te przekątne? Nie wiem czy robię błąd czy to w odpowiedziach jest coś nie tak..

\(\displaystyle{ \vec{d _{1} } = \vec{a} + \vec{b} = -\vec{m}+ 5 \vec{n}}\), później ze wzoru \(\displaystyle{ \left| \vec{d _{1} } \right| = \sqrt{ \vec{} d _{1} \circ \vec{} d _{1} }}\). Ile to jest i dlaczego?


Wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ \sqrt{91}}\) natomiast w odpowiedziach widnieje wynik \(\displaystyle{ 4}\), druga przekątna się zgadza i wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\)

[lukasz1804]

Skorzystaj z symetryczności i dwuliniowości iloczynu skalarnego: \(\displaystyle{ |\vec{d_1}|^2=\vec{d_1}\circ\vec{d_1}=(-\vec{m}+5\vec{n})\circ(-\vec{m}+5\vec{n})=\vec{m}\circ\vec{m}-10\vec{m}\circ\vec{n}+25\vec{n}\circ\vec{n}=|\vec{m}|^2-10|\vec{m}||\vec{n}|\cos\angle(\vec{m},\vec{n})+25|\vec{n}|^2}\).

Wychodzi faktycznie \(\displaystyle{ \sqrt{91}}\), więc racja jest po Twojej stronie.

[trzebiec]

Dziękuję bardzo