wyznacz a wykresu funkcji

[davidd]

Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{a}{x}}\) przesunięto o wektor \(\displaystyle{ [2,3]}\) otrzymując \(\displaystyle{ g(x)}\). Wykres \(\displaystyle{ g(x)}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) punkty wspólne z okręgiem: \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - 4x-6y + 12=0}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{a}{x-2} + 3}\)

\(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + (y-3) ^{2} = 1\\
S(2,3) r = 1}\)

Teraz nie bardzo wiem co zrobić, bo wstawianie za \(\displaystyle{ y}\) funkcji trochę chyba nie ma sensu(?)

[lukasz1804]

Podstawienie \(\displaystyle{ y}\) ma sens, bo otrzymane równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) da się łatwo sprowadzić do dwukwadratowego (przez pomnożenie stronami przez \(\displaystyle{ (x-2)^2}\)).

[davidd]

\(\displaystyle{ \left( x-2 \right) ^{2} + \left( \frac{a}{x-2} \right) ^{2} = 1}\)

Jak pomnoże to jak się to skróci? nie bardzo widzę (?)

[lukasz1804]

Po pomnożeniu stronami mamy \(\displaystyle{ [(x-2)^2]^2+a^2=(x-2)^2}\), tj. \(\displaystyle{ [(x-2)^2]^2-(x-2)^2+a^2=0}\).

[davidd]

no tak, a teraz?
Delta większa od zera, hmm?

[lesmate]

Większa-- 2 kwi 2013, o 21:14 --tylko umówmy się ze badamy równanie \(\displaystyle{ t^2-t+a^2=0}\)

[davidd]

Tak też właśnie zrobiłem.
czyli po prostu \(\displaystyle{ 1-4a ^{2} > 0}\) ?
Dalej już wiadomo

[lesmate]

no nie zupełnie, to równanie z \(\displaystyle{ x}\)ma mieć dwa rozwiązania

to te \(\displaystyle{ t}\) musi mieć ....

[davidd]

dwa pierwiastki, tylko nie wiem jak to zapisać.

[lukasz1804]

Równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) musi mieć jeden pierwiastek dodatni lub dwa pierwiastki różnych znaków. Jednak ze względu na postać równania możliwy jest tylko pierwszy przypadek.

[lesmate]

czyli \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2<0}\)

[lukasz1804]

Ten warunek dotyczyłby dwóch pierwiastków różnych znaków. Zauważ jednak, że ten warunek nie zachodzi, gdyż na podstawie wzoru Viete'a mamy \(\displaystyle{ t_1t_2=a^2\ge 0}\).
Możliwy jest zatem tylko przypadek jednego pierwiastka będącego liczbą dodatnią, tj. \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=-\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\) (wtedy \(\displaystyle{ t_0=\frac{1}{2}}\)).