Kwadrat na okręgu - sprawdzenie toku rozumowania.

[MetaXa19]

Witam.
Może mógłby ktoś mi wytknąć błąd w moim rozumowaniu?
Bo samo rozwiązanie zadania może i gdzieś istnieje, ale chciałabym dowiedzieć się czy da się po jakiejś poprawce zrobić to zadanie, tym "moim" sposobem".

W prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x+y-6=0}\) zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-2y-4=0}\). Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Wyznaczyłam środek okręgu S(0;1) oraz promień \(\displaystyle{ r= \sqrt{5}}\) .
Podaną prostą nazwałam \(\displaystyle{ k}\). Prostą równoległą do \(\displaystyle{ k}\), przechodzącą przez środek S nazwałam \(\displaystyle{ z}\), zaś prostą równoległą do nich, styczną do kręgu (mającą stanowić drugi bok) - \(\displaystyle{ l}\).
Zatem \(\displaystyle{ (z \wedge l) || k \Rightarrow wsp.kier= -2}\)
Teraz z punktu S liczę współczynnik b dla prostej \(\displaystyle{ z}\).
\(\displaystyle{ 1=-2 \cdot 0+b \Rightarrow b=0 \Rightarrow z: y=-2+1}\)
Teraz jeżeli porównuję proste \(\displaystyle{ k \wedge z}\) to widzę, że współczynnik b został "przesunięty" o 4. (Sądzę, że tu jest błąd?)
Idąc tym tokiem rozumowania przyjęłam, że prosta \(\displaystyle{ l: y=-2x-4}\)

Dalej znalazłam prostą prostopadłą \(\displaystyle{ w}\) do prostej \(\displaystyle{ z}\).
Równanie \(\displaystyle{ w: y=\frac{1}{2}x+1}\)
I tak samo przesunięcie o 5 jednostek. Proste równoległe do mojej w nazwałam \(\displaystyle{ m \wedge n}\), których kolejnerównania wyglądają następująco:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x-4}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+6}\).

Na koniec przyrównałam do siebie te proste by znaleźć ich przecięcia (wierzchołki kwadratu).

Mógłby ktoś mi z tym pomóc? Byłabym bardzo wdzięczna...

[lukasz1804]

Twoje spostrzeżenia dotyczące odległości prostych równoległych są słuszne. Trzeba jedynie nadmienić, że prosta \(\displaystyle{ z}\) ma równanie \(\displaystyle{ y-2x+1}\), a wyrazy wolne prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ z}\) różnią się o \(\displaystyle{ 5}\), nie o \(\displaystyle{ 4}\).

[MetaXa19]

Tak, o 5 - faktycznie, źle spojrzałam na moje notatki.
Zatem \(\displaystyle{ z}\) ma równanie \(\displaystyle{ y-2x+1=0}\) (czemu?) czy \(\displaystyle{ y=-2x+1}\) (czyli miałabym poprawnie?), bo trochę nie rozumiem.
Jeżeli miałabym to poprawnie - zatem czemu przyrównując przecinające się proste wychodzą błędne wyniki?