Równanie okręgów stycznych

Vexen16 · Post autor: **Vexen16** » 26 mar 2013, o 17:53

Witam, mam jeszcze problem z takim zadaniem.

Wyznacz równania okręgów stycznych do obu osi układu współrzędnych i przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P(2,-1)}\).

Proszę o pomoc.

ares41 · Post autor: **ares41** » 26 mar 2013, o 17:58

Okręgi te muszą leżeć w IV ćwiartce układu współrzędnych.
Zatem jeśli \(\displaystyle{ r=a}\) to środek okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ (a,-a)}\).
Zapisz równanie okręgu i wstaw do niego podany punkt.

Vexen16 · Post autor: **Vexen16** » 26 mar 2013, o 18:03

\(\displaystyle{ (2-a) ^{2} +(-1-b) ^{2} =r ^{2}}\) coś takiego ?

Al93 · Post autor: **Al93** » 26 mar 2013, o 18:04

\(\displaystyle{ b}\) zamień na \(\displaystyle{ -a}\) , \(\displaystyle{ r}\) zamień na \(\displaystyle{ a}\), narysowałeś sobie to?

Vexen16 · Post autor: **Vexen16** » 26 mar 2013, o 18:11

Ja nic nie rozumiem z tego zadania...

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 28 mar 2013, o 10:15

Okrąg musi leżeć w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Stąd i z uwagi na to, że jest on styczny do osi układu współrzędnych wynika, że jego środek ma współrzędne \(\displaystyle{ (a,-a)}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ a>0}\), a ponadto promień ma długość \(\displaystyle{ a}\).

Tylko na podstawie tej obserwacji otrzymujemy równanie okręgu postaci \(\displaystyle{ (x-a)^2+\left(y-(-a)\right)^2=a^2}\).

Uwzględniając jeszcze punkt \(\displaystyle{ P}\) mamy \(\displaystyle{ (2-a)^2+\left(-1-(-a)\right)^2=a^2}\).

Wystarczy teraz z powyższego równania kwadratowego wyznaczyć wartości niewiadomej \(\displaystyle{ a}\) i odczytać równania obu okręgów stanowiących rozwiązanie, korzystając z zapisanej powyżej postaci \(\displaystyle{ (x-a)^2+\left(y-(-a)\right)^2=a^2}\).