Szukam odpowiedzi na pytanie w jaki sposób wyznaczyć równanie parametryczne krzywej przechodzącej przez kilka punktów w przestrzeni? Czy zetknął się ktoś z podobnym problemem? Czy są jakieś programy które potrafią znaleźć równie takiej krzywej? A może ktoś posiada skrypt rozwiązujący rozwiązujący takie zadanie?
Dodam, że nie jestem matematykiem a na moim kierunku studiów kurs tego przedmiotu zakończył się na równaniach różniczkowych, stąd moja wiedza jest niewielka, dlatego proszę o wyrozumiałość
Chciałbym znaleźć gotowe narzędzie, które radzi sobie z powyższym zagadnieniem. Wolałbym uniknąć studiowania problemu, gdyż mam zbyt małą wiedzę, więc zapewne nie poradziłbym sobie tudzież straciłbym zbyt dużo czasu.
Będę bardzo wdzięczny za wszelkie wskazówki.
Równanie krzywej w przestrzeni
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Równanie krzywej w przestrzeni
Przy takich warunkach (podanych kilka punktów w przestrzeni) problem nie ma rozwiązania. Istnieje nieskończenie wiele krzywych przechodzących przez te punkty.
Musiałbyś podać jakieś specyficzne ograniczenia jakie musi spełniać ta krzywa.
Może łatwiej. Nawet na płaszczyźnie przez kilka punktów można poprowadzić nieskończenie wiele krzywych. Dopiero podanie ograniczeń dla tych krzywych (np. coś o kształcie - czy to ma być krzywa wielomianowa, suma trygonometrycznych, jej pochodne spełniają pewne warunki itd.) pozwala taką krzywą wyznaczyć.
Musisz dokładniej określić, jakie dodatkowe warunki musi spełniać ta krzywa.
Musiałbyś podać jakieś specyficzne ograniczenia jakie musi spełniać ta krzywa.
Może łatwiej. Nawet na płaszczyźnie przez kilka punktów można poprowadzić nieskończenie wiele krzywych. Dopiero podanie ograniczeń dla tych krzywych (np. coś o kształcie - czy to ma być krzywa wielomianowa, suma trygonometrycznych, jej pochodne spełniają pewne warunki itd.) pozwala taką krzywą wyznaczyć.
Musisz dokładniej określić, jakie dodatkowe warunki musi spełniać ta krzywa.
Równanie krzywej w przestrzeni
Dziękuję za odzew.
Jeżeli chodzi o dodatkowe warunki to sprawa wygląda następująco: mam kilka krzywych wykreślonych w AutoCadzie i dlatego oprócz punktów przez które przechodzą mogę podać jedynie informacje o kształcie. Są to krzywe łukowe, jednakże nie wszystkie odgięte w jednakowy sposób, część z nich to jakby parabole zbudowane na rzucie łuku (widok z góry to łuk, widok z przodu to parabola a widok z boku to linia prosta skośna) a część to krzywe, które zbudowane są na rzucie koła (widok z góry to fragment okręgu, a w widoku z przodu kierują się ku górze, współrzędna pionowa rośnie)
Podejrzewam, że niektóre z nich można by opisać równaniem zbliżonym do:
\(\displaystyle{ x\left( u\right) = a + b \cdot sin\left( u\right); y\left( u\right) = c + d \cdot cos\left( u\right); z\left( u\right) = e + f \cdot cos\left( u\right)}\)
Jeżeli to będzie pomocne to mogę podesłać pliki żeby pokazać dokładnie jak wyglądają te krzywe.
Będę wdzięczny za dalsze wskazówki
Jeżeli chodzi o dodatkowe warunki to sprawa wygląda następująco: mam kilka krzywych wykreślonych w AutoCadzie i dlatego oprócz punktów przez które przechodzą mogę podać jedynie informacje o kształcie. Są to krzywe łukowe, jednakże nie wszystkie odgięte w jednakowy sposób, część z nich to jakby parabole zbudowane na rzucie łuku (widok z góry to łuk, widok z przodu to parabola a widok z boku to linia prosta skośna) a część to krzywe, które zbudowane są na rzucie koła (widok z góry to fragment okręgu, a w widoku z przodu kierują się ku górze, współrzędna pionowa rośnie)
Podejrzewam, że niektóre z nich można by opisać równaniem zbliżonym do:
\(\displaystyle{ x\left( u\right) = a + b \cdot sin\left( u\right); y\left( u\right) = c + d \cdot cos\left( u\right); z\left( u\right) = e + f \cdot cos\left( u\right)}\)
Jeżeli to będzie pomocne to mogę podesłać pliki żeby pokazać dokładnie jak wyglądają te krzywe.
Będę wdzięczny za dalsze wskazówki
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Równanie krzywej w przestrzeni
Cóż, nie jestem inżynierem, pliki AutoCAD-a mi nie pomogą, mogę sobie wyobrazić sytuacje, że rzut na taką czy inną płaszczyznę wygląda jak parabola albo prosta. Geometria wykreślna jako przedmiot na matematyce nie występuje osobno, ale każdy matematyk potrafi sobie wyobrazić rzut na te trzy rzutnie (używając innej terminologii, ale to bez znaczenia).
Pierwsze pytanie: skąd biorą się te punkty? Czy są to punkty uzyskane z jakiejś powierzchni? Np. z jakiegoś rzeczywistego modelu?
Miałem z czymś takim do czynienia z ludźmi od profili skrzydeł na PRz, gdzie uzyskiwali współrzędne punktów z modelu z tunelu aerodynamicznego i na tej podstawie chcieli uzyskać równania krzywych opisujących powierzchnię. Też chcieli, żeby te krzywe były "gładkie" na poszczególnych rzutach itp. inżynierskie wymagania.
No i tu pojawiła się rozbieżność.
Rzutujemy te punkty na którąś z płaszczyzn, potem możemy spróbować znaleźć krzywą, która możliwie najlepiej zaproksymuje te punkty. Tzn. będzie jakąś w miarę "prostą" krzywą (chodzi o równanie), taką, która przejdzie przez te punkty. I tu pojawia się dylemat. Przez ileś tam punktów na płaszczyźnie można poprowadzić wiele krzywych, nas interesują te najbardziej gładkie.
Najczęściej wykorzystuje się aproksymację przy pomocy wielomianów, funkcji trygonometrycznych, funkcji wykładniczych lub wymiernych. Tu pojawia się miejsce, gdzie trzeba dokonać wyboru - jakiego rodzaju funkcji użyjemy. Wybierzemy postać wielomianową to dostaniemy przybliżenie w postaci odpowiedniego wielomianu, tak samo z trygonometrycznymi itd.
Ludzie od sygnałów elektrycznych, akustyki itp. decydują się najczęściej na funkcje trygonometryczne, ci od przepływów, korbowodów, ślimaków itd. na funkcje wielomianowe, a ci od ekonomii i pieniędzy na wykładnicze i wymierne. Ale to nie jest reguła, tyle, że te zjawiska, które opisywali miały taki a nie inny "kształt" - takiego pojęcia w matematyce nie ma, ale wszyscy wiedza o co chodzi.
I teraz podsumuję to tak ja to widzę:
na każdej z płaszczyzn rzutowania dostajesz obrazy punktów. Tam możesz znaleźć krzywą, która możliwie najlepiej dopasuje się do tych punktów wybierając pewien sposób dopasowania.
To jest do zrobienia bez większych problemów w każdym, nawet prymitywnym programie matematycznym.
Możesz to powtórzyć na wszystkich tych płaszczyznach, dostaniesz w ten sposób trzy wyliczone krzywe (na każdej płaszczyźnie), które są możliwie najlepsze w Twoim modelu.
Ale z tych krzywych nie można jednoznacznie odtworzyć przestrzennej postaci danego obiektu.
Dysponując rzutami obiektu na trzy rzutnie, w wielu przypadkach nie można jednoznacznie odtworzyć obiektu przestrzennego. Nawet jeżeli płaszczyzny rzutowania są dobrze dobrane, to odwzorowanie odwrotne (z rzutni w przestrzeń) może być niejednoznaczne.
Z tego co wiem, to AutoCad dysponuje funkcją, która pozwala odtworzyć bryłę na podstawie jej rzutów (o ile to jest możliwe). O ile pamiętam, to ludzie od tych modeli też robili to w Autocadzie, przynajmniej na początku, potem, po naszych (czyli matematyków podpowiedziach) pięknie zaproksymowali w każdej płaszczyźnie ten model, ale potem AutoCad odmówił posłuszeństwa - nie był w stanie wygenerować powierzchni (bryły) która spełniała by te warunki.
Koniec końców, skończyli używając metody elementów skończonych (MES, albo z angielskiego FEM) uzyskując swoje wyniki (używając oprogramowania od Boeinga na SparcClassic i SunOS Server - w 1995 r.!!!).
Po prostu Twój problem nie jest ściśle rozwiązywalny (a nawet definiowalny) z punktu widzenia matematyki. Jeżeli zechcesz, żeby pomóc Ci w aproksymacji wielomianami, funkcjami trygonometrycznymi, wykładniczymi, to proszę bardzo, podaj dane i już.
Nawet teorię napiszemy Ci gratis. (to żart oczywiście).
Ale, jeżeli już zdecydujesz się na jakiś model, przeprowadzisz symulacje komputerowe, to pamiętaj, że żadna symulacja komputerowa nie zastąpi realnych badań.
Pierwsze pytanie: skąd biorą się te punkty? Czy są to punkty uzyskane z jakiejś powierzchni? Np. z jakiegoś rzeczywistego modelu?
Miałem z czymś takim do czynienia z ludźmi od profili skrzydeł na PRz, gdzie uzyskiwali współrzędne punktów z modelu z tunelu aerodynamicznego i na tej podstawie chcieli uzyskać równania krzywych opisujących powierzchnię. Też chcieli, żeby te krzywe były "gładkie" na poszczególnych rzutach itp. inżynierskie wymagania.
No i tu pojawiła się rozbieżność.
Rzutujemy te punkty na którąś z płaszczyzn, potem możemy spróbować znaleźć krzywą, która możliwie najlepiej zaproksymuje te punkty. Tzn. będzie jakąś w miarę "prostą" krzywą (chodzi o równanie), taką, która przejdzie przez te punkty. I tu pojawia się dylemat. Przez ileś tam punktów na płaszczyźnie można poprowadzić wiele krzywych, nas interesują te najbardziej gładkie.
Najczęściej wykorzystuje się aproksymację przy pomocy wielomianów, funkcji trygonometrycznych, funkcji wykładniczych lub wymiernych. Tu pojawia się miejsce, gdzie trzeba dokonać wyboru - jakiego rodzaju funkcji użyjemy. Wybierzemy postać wielomianową to dostaniemy przybliżenie w postaci odpowiedniego wielomianu, tak samo z trygonometrycznymi itd.
Ludzie od sygnałów elektrycznych, akustyki itp. decydują się najczęściej na funkcje trygonometryczne, ci od przepływów, korbowodów, ślimaków itd. na funkcje wielomianowe, a ci od ekonomii i pieniędzy na wykładnicze i wymierne. Ale to nie jest reguła, tyle, że te zjawiska, które opisywali miały taki a nie inny "kształt" - takiego pojęcia w matematyce nie ma, ale wszyscy wiedza o co chodzi.
I teraz podsumuję to tak ja to widzę:
na każdej z płaszczyzn rzutowania dostajesz obrazy punktów. Tam możesz znaleźć krzywą, która możliwie najlepiej dopasuje się do tych punktów wybierając pewien sposób dopasowania.
To jest do zrobienia bez większych problemów w każdym, nawet prymitywnym programie matematycznym.
Możesz to powtórzyć na wszystkich tych płaszczyznach, dostaniesz w ten sposób trzy wyliczone krzywe (na każdej płaszczyźnie), które są możliwie najlepsze w Twoim modelu.
Ale z tych krzywych nie można jednoznacznie odtworzyć przestrzennej postaci danego obiektu.
Dysponując rzutami obiektu na trzy rzutnie, w wielu przypadkach nie można jednoznacznie odtworzyć obiektu przestrzennego. Nawet jeżeli płaszczyzny rzutowania są dobrze dobrane, to odwzorowanie odwrotne (z rzutni w przestrzeń) może być niejednoznaczne.
Z tego co wiem, to AutoCad dysponuje funkcją, która pozwala odtworzyć bryłę na podstawie jej rzutów (o ile to jest możliwe). O ile pamiętam, to ludzie od tych modeli też robili to w Autocadzie, przynajmniej na początku, potem, po naszych (czyli matematyków podpowiedziach) pięknie zaproksymowali w każdej płaszczyźnie ten model, ale potem AutoCad odmówił posłuszeństwa - nie był w stanie wygenerować powierzchni (bryły) która spełniała by te warunki.
Koniec końców, skończyli używając metody elementów skończonych (MES, albo z angielskiego FEM) uzyskując swoje wyniki (używając oprogramowania od Boeinga na SparcClassic i SunOS Server - w 1995 r.!!!).
Po prostu Twój problem nie jest ściśle rozwiązywalny (a nawet definiowalny) z punktu widzenia matematyki. Jeżeli zechcesz, żeby pomóc Ci w aproksymacji wielomianami, funkcjami trygonometrycznymi, wykładniczymi, to proszę bardzo, podaj dane i już.
Nawet teorię napiszemy Ci gratis. (to żart oczywiście).
Ale, jeżeli już zdecydujesz się na jakiś model, przeprowadzisz symulacje komputerowe, to pamiętaj, że żadna symulacja komputerowa nie zastąpi realnych badań.
Równanie krzywej w przestrzeni
Hmmm...chyba zbyt nieprecyzyjnie sformułowałem swój problem przez co zrobiłem dużo zmieszania, tak przynajmniej wnioskuje po przeczytaniu powyższego posta...
Mianowicie: posiadam kilka krzywych o kształcie łukowym wykreślonych w AutoCadzie 3D. Są to krzywe przestrzenne gdyż nie zawierają się w jednej płaszczyźnie. Na podstawie tych krzywych jest zbudowane przekrycie powłokowe, które projektuję (mniejsza o to), w każdym razie krzywe te stanowią model geometryczny (są wykreślone przeze mnie dowolnie, tak jak mi się spodobało) a ja potrzebuje znaleźć ich opis matematyczny (w postaci równania parametrycznego). Równania te są mi potrzebne żeby przeliczyć moje przekrycie w innym programie.
W moim pierwszym poście zapytałem o możliwość znalezienia dowolnej prostej w przestrzeni przechodzącej przez zestaw punktów bo takie było moje rozumowanie: że żeby znaleźć matematyczne równanie mojej krzywej muszę wziąć kilka zestawów współrzędnych przez które ona przechodzi, podstawić do jakichś ogólnych wzorów i na tej podstawie otrzymać wzór krzywej. Jednak takie postawienie przeze mnie problemu (jak się teraz zreflektowałem) jest nieprecyzyjne i chyba błędne (tzn zbyt ogólne) ponieważ:
- mam moje krzywe wykreślone w przestrzeni i szukam tylko ich opisu matematycznego, zatem zestaw punktów, który mogę podać może być dowolnie zagęszczony dzięki czemu opisze moją krzywą dość jednoznacznie, ergo moje zadanie nie sprowadza się do aproksymacji zestawu punktów krzywą gdyż nie są one rozrzucone, tylko zadanie polega na znalezieniu równania krzywej którą mam wykreśloną w przestrzeni,
- mój zestaw punktów stanowi właśnie ta krzywa
- jak już wspomniałem posiadam model krzywej w 3D czyli nie muszę rzutować punktów na płaszczyznę a później odtwarzać przestrzennej postaci obiektu.
Podsumowując: mój problem polega na tym, że potrzebuję znaleźć równanie krzywej w przestrzeni, którą mam wykreśloną w 3D, i która jest w miarę regularna. To chyba znacznie zmienia postać rzeczy i myślę, że czyni mój problem definiowalnym
Dziękuję za obszerne pojaśnienie i przepraszam za niewłaściwe przedstawienie problemu, mam nadzieję, że teraz da się to jakoś ogarnąć
Mianowicie: posiadam kilka krzywych o kształcie łukowym wykreślonych w AutoCadzie 3D. Są to krzywe przestrzenne gdyż nie zawierają się w jednej płaszczyźnie. Na podstawie tych krzywych jest zbudowane przekrycie powłokowe, które projektuję (mniejsza o to), w każdym razie krzywe te stanowią model geometryczny (są wykreślone przeze mnie dowolnie, tak jak mi się spodobało) a ja potrzebuje znaleźć ich opis matematyczny (w postaci równania parametrycznego). Równania te są mi potrzebne żeby przeliczyć moje przekrycie w innym programie.
W moim pierwszym poście zapytałem o możliwość znalezienia dowolnej prostej w przestrzeni przechodzącej przez zestaw punktów bo takie było moje rozumowanie: że żeby znaleźć matematyczne równanie mojej krzywej muszę wziąć kilka zestawów współrzędnych przez które ona przechodzi, podstawić do jakichś ogólnych wzorów i na tej podstawie otrzymać wzór krzywej. Jednak takie postawienie przeze mnie problemu (jak się teraz zreflektowałem) jest nieprecyzyjne i chyba błędne (tzn zbyt ogólne) ponieważ:
- mam moje krzywe wykreślone w przestrzeni i szukam tylko ich opisu matematycznego, zatem zestaw punktów, który mogę podać może być dowolnie zagęszczony dzięki czemu opisze moją krzywą dość jednoznacznie, ergo moje zadanie nie sprowadza się do aproksymacji zestawu punktów krzywą gdyż nie są one rozrzucone, tylko zadanie polega na znalezieniu równania krzywej którą mam wykreśloną w przestrzeni,
- mój zestaw punktów stanowi właśnie ta krzywa
- jak już wspomniałem posiadam model krzywej w 3D czyli nie muszę rzutować punktów na płaszczyznę a później odtwarzać przestrzennej postaci obiektu.
Podsumowując: mój problem polega na tym, że potrzebuję znaleźć równanie krzywej w przestrzeni, którą mam wykreśloną w 3D, i która jest w miarę regularna. To chyba znacznie zmienia postać rzeczy i myślę, że czyni mój problem definiowalnym
Dziękuję za obszerne pojaśnienie i przepraszam za niewłaściwe przedstawienie problemu, mam nadzieję, że teraz da się to jakoś ogarnąć