Zadanie brzmi tak:
Wyznacz równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ o}\) przecinającej proste: \(\displaystyle{ k, l, m, n}\).
\(\displaystyle{ l: \ \left( 1+2t, 2, 3-2t \right) ^T}\)
\(\displaystyle{ k: \ \left( 2-2p, 2+p, 3-2p \right) ^T}\)
\(\displaystyle{ m: \ \left( k, k, -2k \right) ^T}\)
\(\displaystyle{ n: \ \left( 1+2q, 1-2q, 1+2q \right) ^T}\)
Proszę o pomoc.
Równanie parametryczne prostej
-
KowalskiMateusz
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 5 razy
Równanie parametryczne prostej
\(\displaystyle{ o:\left\{ \begin{matrix}
\frac{2\left( 65\sqrt{2}-92 \right)}{30\sqrt{2}-43}-\frac{4\left( 26795\sqrt{2}-37894 \right)}{5\left( 3151\sqrt{2}-4456 \right)}s \\
\frac{2\left( 65\sqrt{2}-92 \right)}{30\sqrt{2}-43}+\frac{602\sqrt{2}-\frac{4256}{5}}{3151\sqrt{2}-4456}s \\
-\frac{4\left( 65\sqrt{2}-92 \right)}{30\sqrt{2}-43}+\frac{19268\sqrt{2}-\frac{136244}{5}}{3151\sqrt{2}-4456}s \\
\end{matrix} \right.}\)
Jak to rozwiązałem
Opis parametryczny prostej mówi o tym jakie współrzędne ma punkt na tej prostej w zależności od parametru tej prostej. Czyli przy ustalonym parametrze mamy jakiś ogólny punkt z tej prostej.
Zatem zapisujemy wzór prostej przechodzącej przez dwa punkty
który ma postać:
\(\displaystyle{ w:\left\{ \begin{matrix}
x_1+(x_2-x_1)\alpha \\
y_1+(y_2-y_1)\alpha \\
z_1+(z_2-z_1)\alpha \\
\end{matrix} \right.}\)
tworzymy prostą przechodząca przez punk z prostej l i punkt z prostej k
\(\displaystyle{ lk:\left\{ \begin{matrix}
1+2t+(2-2p-1-2t)\alpha \\
2+(2+p-2)\alpha \\
3-2t+(3-2p-3+2t)\alpha \\
\end{matrix} \right.}\)
analogicznie
\(\displaystyle{ mn:\left\{ \begin{matrix}
k+(1+2q-k)\beta \\
k+(1-2q-k)\beta \\
-k+(1+2q+2k)\beta \\
\end{matrix} \right.}\)
Stwierdzamy przecież że prosta lk i mn to ta sam prosta. Zatem
Z równoległości prostych mamy
\(\displaystyle{ \frac{2-2p-1-2t}{1+2q-k}=\frac{p}{1-2q-k}=\frac{-2p+2t}{1+2q+2k}}\)
A ponadto skoro to ta sama prosta to zachodzi, że wektor utworzony z punktów prostych dla parametrów równego 0.
\(\displaystyle{ \frac{k-1-2t}{1-2p-2t}=\frac{k-2}{p}=\frac{-2k-3+2t}{-2p+2t}}\)
W ten sposób mamy nie najładniejszy ale i nie najbrzydszy układ 4 rówńań do rózwiązania
Jednak komuter wymiekał z rozwiązaniem symbolicznym
to recznie uprościłem go do
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}
\frac{-2+8t}{1-3p+2t}=\frac{5p+4t-2+2tp}{3p-1+2t} \\
\frac{-2+8t}{1-3p+2t}=\frac{-7p+4t+2pt}{2t} \\
\end{matrix} \right.}\)
i tu już komputer dał radę
\(\displaystyle{ (t,p,k,q)=\left( \frac{43}{2}-15\sqrt{2},\frac{4}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{6},\frac{130\sqrt{2}-184}{30\sqrt{2}-43},-\frac{55095\sqrt{2}-77916}{31510\sqrt{2}-44560} \right)}\)
Co prawda znalazł 3 rozwiązania ale to było dobre
a to już nas prowadzi do wzoru funkcji
A tu gratis obrazek
\frac{2\left( 65\sqrt{2}-92 \right)}{30\sqrt{2}-43}-\frac{4\left( 26795\sqrt{2}-37894 \right)}{5\left( 3151\sqrt{2}-4456 \right)}s \\
\frac{2\left( 65\sqrt{2}-92 \right)}{30\sqrt{2}-43}+\frac{602\sqrt{2}-\frac{4256}{5}}{3151\sqrt{2}-4456}s \\
-\frac{4\left( 65\sqrt{2}-92 \right)}{30\sqrt{2}-43}+\frac{19268\sqrt{2}-\frac{136244}{5}}{3151\sqrt{2}-4456}s \\
\end{matrix} \right.}\)
Jak to rozwiązałem
Opis parametryczny prostej mówi o tym jakie współrzędne ma punkt na tej prostej w zależności od parametru tej prostej. Czyli przy ustalonym parametrze mamy jakiś ogólny punkt z tej prostej.
Zatem zapisujemy wzór prostej przechodzącej przez dwa punkty
który ma postać:
\(\displaystyle{ w:\left\{ \begin{matrix}
x_1+(x_2-x_1)\alpha \\
y_1+(y_2-y_1)\alpha \\
z_1+(z_2-z_1)\alpha \\
\end{matrix} \right.}\)
tworzymy prostą przechodząca przez punk z prostej l i punkt z prostej k
\(\displaystyle{ lk:\left\{ \begin{matrix}
1+2t+(2-2p-1-2t)\alpha \\
2+(2+p-2)\alpha \\
3-2t+(3-2p-3+2t)\alpha \\
\end{matrix} \right.}\)
analogicznie
\(\displaystyle{ mn:\left\{ \begin{matrix}
k+(1+2q-k)\beta \\
k+(1-2q-k)\beta \\
-k+(1+2q+2k)\beta \\
\end{matrix} \right.}\)
Stwierdzamy przecież że prosta lk i mn to ta sam prosta. Zatem
Z równoległości prostych mamy
\(\displaystyle{ \frac{2-2p-1-2t}{1+2q-k}=\frac{p}{1-2q-k}=\frac{-2p+2t}{1+2q+2k}}\)
A ponadto skoro to ta sama prosta to zachodzi, że wektor utworzony z punktów prostych dla parametrów równego 0.
\(\displaystyle{ \frac{k-1-2t}{1-2p-2t}=\frac{k-2}{p}=\frac{-2k-3+2t}{-2p+2t}}\)
W ten sposób mamy nie najładniejszy ale i nie najbrzydszy układ 4 rówńań do rózwiązania
Jednak komuter wymiekał z rozwiązaniem symbolicznym
to recznie uprościłem go do
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}
\frac{-2+8t}{1-3p+2t}=\frac{5p+4t-2+2tp}{3p-1+2t} \\
\frac{-2+8t}{1-3p+2t}=\frac{-7p+4t+2pt}{2t} \\
\end{matrix} \right.}\)
i tu już komputer dał radę
\(\displaystyle{ (t,p,k,q)=\left( \frac{43}{2}-15\sqrt{2},\frac{4}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{6},\frac{130\sqrt{2}-184}{30\sqrt{2}-43},-\frac{55095\sqrt{2}-77916}{31510\sqrt{2}-44560} \right)}\)
Co prawda znalazł 3 rozwiązania ale to było dobre
a to już nas prowadzi do wzoru funkcji
A tu gratis obrazek
Kod: Zaznacz cały
http://www.kowalskimateusz.pl/materialy/proste.gif