rzut punktu na płaszczyznę i prostą

[qaz]

1. Znajdź rzut punktu \(\displaystyle{ P(-1,2,0)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi:x-3z+2=0}\)
2. Znajdź rzut punktu \(\displaystyle{ P(-1,2,0)}\) na prostą l: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-3z+2=0 \\ 2x-y+z=0\end{cases}}\)

[lukasz1804]

1. Korzystając ze współrzędnych wektora normalnego płaszczyzny wyznacz postać parametryczną prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Wyznacz punkt wspólny tej prostej z płaszczyzną.

2. Sprowadź równanie prostej do postaci parametrycznej i zapisz współrzędne dowolnego punktu na prostej w zależności od jednego parametru. Wyznacz tę wartość parametru, dla której kwadrat długości odcinka o jednym z końców w tym punkcie i drugim końcu w punkcie \(\displaystyle{ P}\) ma najmniejszą wartość (zbadaj odpowiednią funkcję kwadratową wprowadzonego parametru). Na podstawie znalezionej wartości parametru odczytaj współrzędne szukanego punktu.

[qaz]

W pierwszym mi wyszło rzut \(\displaystyle{ P'=(-\frac{11}{10},2,\frac{3}{10})}\)
A w drugim \(\displaystyle{ P'=(\frac{17}{59}, \frac{79}{59}, \frac{45}{59})}\), dobrze?

[lukasz1804]

Wszystko się zgadza.

[qaz]

dzieki bardzo, przydala mi sie podpowiedz