Równanie płaszczyzny przechodzi przez punkt 2

[lsk14]

Równanie płaszczyzny przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ p=(1,-1,0)}\)i jest prostopadła do prostej wyznaczonej równaniami krawędziowymi \(\displaystyle{ 3\begin{cases} x-y+2z+1=0 \\ x-3y+z=0 \end{cases}}\).
Znalazłem wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ (5,1,-8)}\)
prosta jest prostopadła do płaszczyzny kiedy ich wektory kierunkowe są równoległe czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} (5,1,-8)=a \cdot (A,B,C) \\ A-B+D=0 \end{cases}}\)
i utknąłem może ktoś pomóc ?

[chris_f]

Wektor kierunkowy prostej prostopadłej do płaszczyzny jest oczywiście wektorem normalnym tej płaszczyzny. Skoro już masz ten wektor to równanie płaszczyzny będzie miało postać
\(\displaystyle{ 5x+y-8z+D=0}\)
No i teraz wykorzystujemy fakt, że do płaszczyzny należy dany punkt i mamy
\(\displaystyle{ 5-1+D=0}\)
skąd \(\displaystyle{ D=-4}\)
i szukana płaszczyzna to
\(\displaystyle{ 5x+y-8z-4=0}\)

[lsk14]

prosta jest prostopadła do płaszczyzny kiedy ich wektory kierunkowe są równoległe czy to co napisałem jest bzdurą ? jeśli tak to przepraszam za zaśmiecanie forum jeśli nie to przecież wektory są równoległe kiedy da się je przedstawić jeden za pomocą drugiego pomnożonego przez stałą.

[chris_f]

To co napisałeś nie do końca jest prawdą. Płaszczyzna nie ma wektora kierunkowego, tylko jest określona przez tzw. wektor normalny.
Rzeczywiście prosta jest prostopadła do płaszczyzny jeżeli wektor kierunkowy prostej jest równoległy do wektora normalnego płaszczyzny.
Ale płaszczyzna nie ma tylko jednego wektora normalnego, każdy wektor prostopadły jest wektorem normalnym, i współrzędne tego wektora są współczynnikami w równaniu ogólnym płaszczyzny.
Zauważ, że równanie też nie jest tylko jedno:
\(\displaystyle{ 2x+y-3z+5=0}\)
jest równaniem jakiejś płaszczyzny, ale przecież mogę np. obustronnie to równanie pomnożyć przez jakąś liczbę różną od zera i dostanę inne równanie, ale nadal tej samej płaszczyzny, np.
\(\displaystyle{ 4x+2y-6z+10=0}\).
Dlatego mając jakikolwiek wektor normalny (czyli prostopadły do płaszczyzny) mogę jego współrzędne podstawić jako współczynniki w równaniu płaszczyzny \(\displaystyle{ A,B,C}\), nie muszę bawić się w wykorzystywanie warunków równoległości wektorów.

[lsk14]

Nie jestem pewien czy dobrze doczytałeś , w treści zadania mamy prostą podaną i to jej wektor kierunkowy obliczyłem.

[chris_f]

Dobrze doczytałem. Nie ma znaczenia, czy ten wektor musiałeś wyliczać, czy można go było odczytać. np. z równania parametrycznego, ważne, że ten wektor kierunkowy już był.
I wtedy został wykorzystany jako wektor normalny płaszczyzny, tak jak opisałem to wyżej.